Каковы размеры боковой стороны и одной из сторон основания прямоугольного параллелепипеда, если они равны 5√3 и 4 см соответственно, а его диагональ образует 30-градусный угол с плоскостью основания? Найти площадь боковой поверхности и полной поверхности параллелепипеда.
Bulka
Давайте решим задачу поэтапно.
Первое, что нам нужно сделать, это найти оставшиеся размеры боковой стороны и другой стороны основания.
Дано, что одна из сторон основания равна 4 см. Обозначим эту сторону буквой \(\text{a}\).
Согласно геометрическим свойствам прямоугольного параллелепипеда, если мы знаем одну сторону основания и диагональ, то мы можем найти другую сторону основания, используя теорему Пифагора.
Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(c\) и катетами \(a\) и \(b\) справедливо следующее равенство:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Диагональ параллелепипеда является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами основания и высотой параллелепипеда. Обозначим диагональ буквой \(\text{d}\).
Мы знаем, что диагональ образует 30-градусный угол с плоскостью основания. Вспомним, что косинус угла между вектором и плоскостью равен отношению скалярного произведения вектора на нормаль плоскости к произведению длин этих векторов. Так как мы знаем длину вектора диагонали и длину вектора одной из сторон основания, мы можем найти длину вектора другой стороны основания, используя косинусный закон.
Теперь пошагово решим задачу.
Шаг 1: Найдем длину второй стороны основания.
\[\cos(30°) = \frac{4}{\text{d}}\]
Для нахождения значения косинуса 30° можно воспользоваться таблицами или калькулятором. Значение получится равным \(0.866\). Подставим это значение в уравнение:
\[0.866 = \frac{4}{\text{d}}\]
Умножим оба выражения на \(\text{d}\):
\[0.866 \cdot \text{d} = 4\]
Теперь найдем значение \(\text{d}\):
\[\text{d} = \frac{4}{0.866} ≈ 4.618\]
Таким образом, диагональ прямоугольного параллелепипеда равна приблизительно 4.618 см.
Шаг 2: Найдем вторую сторону основания, используя теорему Пифагора.
Имеем уравнение:
\[4^2 + \text{b}^2 = 4.618^2\]
Решим это уравнение:
\[16 + \text{b}^2 = 21.332724\]
\[\text{b}^2 = 21.332724 - 16\]
\[\text{b}^2 = 5.332724\]
\[\text{b} ≈ \sqrt{5.332724} ≈ 2.31\]
Значит, вторая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна примерно 2.31 см.
Шаг 3: Найдем размер боковой стороны параллелепипеда.
Поскольку прямоугольный параллелепипед имеет форму прямоугольника, все его боковые стороны имеют одинаковую длину. Значит, боковая сторона равна одной из сторон основания, которую мы нашли в предыдущем шаге. Таким образом, размер боковой стороны равен примерно 2.31 см.
Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Помним, что площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту параллелепипеда. Периметр основания можно найти по формуле \(2(\text{a} + \text{b})\), где \(\text{a}\) и \(\text{b}\) - стороны основания. В данном случае, мы знаем значения \(\text{a}\) и \(\text{b}\), найденные в предыдущих шагах. Высота параллелепипеда равна размеру боковой стороны.
\[P = 2(2.31 + 4)\]
\[P ≈ 13.24\]
Таким образом, периметр основания прямоугольного параллелепипеда равен примерно 13.24 см.
\[S_{\text{бок}} = P \times \text{b}\]
\[S_{\text{бок}} ≈ 13.24 \times 2.31\]
\[S_{\text{бок}} ≈ 30.53\]
Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда примерно равна 30.53 квадратных сантиметров.
Шаг 5: Найдем полную поверхность параллелепипеда.
Полная поверхность параллелепипеда состоит из двух оснований и четырех боковых сторон. Мы уже нашли площадь боковой поверхности.
\[S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]
Площадь основания равна произведению сторон основания.
\[S_{\text{осн}} = \text{a} \times \text{b}\]
\[S_{\text{осн}} = 2.31 \times 4\]
\[S_{\text{осн}} = 9.24\]
\[S_{\text{полн}} = 2 \times 9.24 + 30.53\]
\[S_{\text{полн}} ≈ 48.01\]
Таким образом, площадь полной поверхности параллелепипеда составляет примерно 48.01 квадратных сантиметров.
В ответе мы получили, что боковая сторона параллелепипеда равна примерно 2.31 см, размер одной из сторон основания также равен 2.31 см. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда составляет примерно 30.53 квадратных сантиметра, а площадь полной поверхности составляет примерно 48.01 квадратных сантиметров.
Первое, что нам нужно сделать, это найти оставшиеся размеры боковой стороны и другой стороны основания.
Дано, что одна из сторон основания равна 4 см. Обозначим эту сторону буквой \(\text{a}\).
Согласно геометрическим свойствам прямоугольного параллелепипеда, если мы знаем одну сторону основания и диагональ, то мы можем найти другую сторону основания, используя теорему Пифагора.
Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(c\) и катетами \(a\) и \(b\) справедливо следующее равенство:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Диагональ параллелепипеда является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами основания и высотой параллелепипеда. Обозначим диагональ буквой \(\text{d}\).
Мы знаем, что диагональ образует 30-градусный угол с плоскостью основания. Вспомним, что косинус угла между вектором и плоскостью равен отношению скалярного произведения вектора на нормаль плоскости к произведению длин этих векторов. Так как мы знаем длину вектора диагонали и длину вектора одной из сторон основания, мы можем найти длину вектора другой стороны основания, используя косинусный закон.
Теперь пошагово решим задачу.
Шаг 1: Найдем длину второй стороны основания.
\[\cos(30°) = \frac{4}{\text{d}}\]
Для нахождения значения косинуса 30° можно воспользоваться таблицами или калькулятором. Значение получится равным \(0.866\). Подставим это значение в уравнение:
\[0.866 = \frac{4}{\text{d}}\]
Умножим оба выражения на \(\text{d}\):
\[0.866 \cdot \text{d} = 4\]
Теперь найдем значение \(\text{d}\):
\[\text{d} = \frac{4}{0.866} ≈ 4.618\]
Таким образом, диагональ прямоугольного параллелепипеда равна приблизительно 4.618 см.
Шаг 2: Найдем вторую сторону основания, используя теорему Пифагора.
Имеем уравнение:
\[4^2 + \text{b}^2 = 4.618^2\]
Решим это уравнение:
\[16 + \text{b}^2 = 21.332724\]
\[\text{b}^2 = 21.332724 - 16\]
\[\text{b}^2 = 5.332724\]
\[\text{b} ≈ \sqrt{5.332724} ≈ 2.31\]
Значит, вторая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна примерно 2.31 см.
Шаг 3: Найдем размер боковой стороны параллелепипеда.
Поскольку прямоугольный параллелепипед имеет форму прямоугольника, все его боковые стороны имеют одинаковую длину. Значит, боковая сторона равна одной из сторон основания, которую мы нашли в предыдущем шаге. Таким образом, размер боковой стороны равен примерно 2.31 см.
Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Помним, что площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту параллелепипеда. Периметр основания можно найти по формуле \(2(\text{a} + \text{b})\), где \(\text{a}\) и \(\text{b}\) - стороны основания. В данном случае, мы знаем значения \(\text{a}\) и \(\text{b}\), найденные в предыдущих шагах. Высота параллелепипеда равна размеру боковой стороны.
\[P = 2(2.31 + 4)\]
\[P ≈ 13.24\]
Таким образом, периметр основания прямоугольного параллелепипеда равен примерно 13.24 см.
\[S_{\text{бок}} = P \times \text{b}\]
\[S_{\text{бок}} ≈ 13.24 \times 2.31\]
\[S_{\text{бок}} ≈ 30.53\]
Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда примерно равна 30.53 квадратных сантиметров.
Шаг 5: Найдем полную поверхность параллелепипеда.
Полная поверхность параллелепипеда состоит из двух оснований и четырех боковых сторон. Мы уже нашли площадь боковой поверхности.
\[S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]
Площадь основания равна произведению сторон основания.
\[S_{\text{осн}} = \text{a} \times \text{b}\]
\[S_{\text{осн}} = 2.31 \times 4\]
\[S_{\text{осн}} = 9.24\]
\[S_{\text{полн}} = 2 \times 9.24 + 30.53\]
\[S_{\text{полн}} ≈ 48.01\]
Таким образом, площадь полной поверхности параллелепипеда составляет примерно 48.01 квадратных сантиметров.
В ответе мы получили, что боковая сторона параллелепипеда равна примерно 2.31 см, размер одной из сторон основания также равен 2.31 см. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда составляет примерно 30.53 квадратных сантиметра, а площадь полной поверхности составляет примерно 48.01 квадратных сантиметров.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
