Каковы продолжительности орбит астероидов, расположенных на расстоянии 2,2 а. е. и 3,6 а. е. от Солнца?

Для решения этой задачи мы можем использовать третий закон Кеплера, который говорит о зависимости между продолжительностью орбиты астероида и его средним радиусом орбиты.

Третий закон Кеплера формулируется следующим образом: квадрат периода обращения Т астероида пропорционален кубу его среднего радиуса r:
\[ T^2 = k \cdot r^3 \]
где T - период обращения астероида, r - средний радиус орбиты астероида, k - постоянная.

Дано, что один астрономический единица (а. е.) равна среднему расстоянию от Земли до Солнца, то есть примерно \(1.496 \times 10^8\) километров. Таким образом, продолжительность орбит астероидов можно вычислить, зная их средние радиусы орбит.

Для астероида, находящегося на расстоянии 2,2 а. е. от Солнца, мы можем записать уравнение:
\[ T_1^2 = k \cdot (2.2)^3 \]
где \(T_1\) - период орбиты астероида.

Аналогично, для астероида, находящегося на расстоянии 3,6 а. е. от Солнца, уравнение будет следующим:
\[ T_2^2 = k \cdot (3.6)^3 \]
где \(T_2\) - период орбиты этого астероида.

Мы видим, что в обоих уравнениях фигурирует постоянная k. Однако, так как мы не знаем ее точное значение, мы не можем найти точные значения периодов орбит. Однако, если отношение одного периода к другому известно, мы можем использовать это информацию.

Возьмем отношение двух уравнений:
\[ \frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{k \cdot (2.2)^3}}{{k \cdot (3.6)^3}} \]
Сократим k:
\[ \frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{(2.2)^3}}{{(3.6)^3}} \]
И найдем отношение периодов:
\[ \frac{{T_1}}{{T_2}} = \sqrt{\frac{{(2.2)^3}}{{(3.6)^3}}} \]
Теперь мы можем подставить значения и вычислить это отношение:
\[ \frac{{T_1}}{{T_2}} = \sqrt{\frac{{2.2^3}}{{3.6^3}}} \approx 0.705 \]

Таким образом, период орбиты астероида, находящегося на расстоянии 2,2 а. е. от Солнца, составляет примерно 0,705 периода орбиты астероида, находящегося на расстоянии 3,6 а. е. от Солнца. Чтобы найти конкретные значения этих периодов, нужно знать значение постоянной k, что для данной задачи неизвестно.