Каковы площади кругов, описанного вокруг и вписанного в треугольник со сторонами, равными 10 см, 17 см и

Для решения данной задачи рассмотрим сначала круг, описанный вокруг треугольника. Радиус этого круга будет равен половине длины стороны треугольника, так как радиус - это расстояние от центра круга до любой точки его окружности.

Таким образом, радиус описанного круга можно найти как половину суммы длин сторон треугольника:
\[ r = \frac{10 + 17 + 19}{2} = 23.5 \, см \]

Теперь, чтобы найти площадь круга, вписанного в данный треугольник, нам нужно знать его радиус. Заметим, что в таком треугольнике радиус будет равен половине высоты, опущенной на сторону треугольника. Для вычисления радиуса вписанного круга нам понадобятся знания о формулах для вычисления площади треугольника.

Существует несколько способов найти высоту треугольника. Один из них - применить формулу площади треугольника через его стороны, которая выглядит следующим образом:
\[ S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
где \( S_{\triangle} \) - площадь треугольника, а \( p \) - полупериметр треугольника, равный половине суммы его сторон.

Выразим высоту треугольника через его площадь и стороны:
\[ h = \frac{2 \times S_{\triangle}}{a} \]
где \( h \) - высота треугольника, а \( a \) - длина одной из его сторон.

В нашем случае мы знаем, что \( a = 10 \, см \), \( b = 17 \, см \), \( c = 19 \, см \). Вычислим площадь треугольника с помощью формулы Герона:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 17 + 19}{2} = 23 \, см \]
\[ S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{23 \times 13 \times 6 \times 4} = 46 \, см^2 \]
\[ h = \frac{2 \times S_{\triangle}}{a} = \frac{2 \times 46}{10} = 9.2 \, см \]

Теперь радиус вписанного круга будет равен половине высоты треугольника:
\[ r = \frac{h}{2} = \frac{9.2}{2} = 4.6 \, см \]

И, наконец, найдем площадь каждого круга. Формула для площади круга:
\[ S = \pi r^2 \]

Площадь описанного вокруг треугольника круга:
\[ S_{\text{описанный}} = \pi \times r^2 = 3.14 \times 23.5^2 \approx 1728.37 \, см^2 \]

Площадь вписанного в треугольник круга:
\[ S_{\text{вписанный}} = \pi \times r^2 = 3.14 \times 4.6^2 \approx 66.73 \, см^2 \]

Таким образом, площадь круга, описанного вокруг треугольника, составляет примерно 1728.37 квадратных сантиметра, а площадь круга, вписанного в данный треугольник, составляет примерно 66.73 квадратных сантиметра.