Каковы площадь боковой поверхности, полная поверхность и объем конуса с осевым сечением, представляющим собой

Для решения задачи о площади боковой поверхности, полной поверхности и объеме конуса с осевым сечением, представляющим собой равносторонний треугольник со стороной, нам потребуются некоторые формулы и свойства.

1. Площадь боковой поверхности конуса:
Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:
$$S=\pi \cdot r\cdot l$$
где $S$ - площадь боковой поверхности, $\pi$ - число пи (примерное значение 3.14), $r$ - радиус основания конуса, $l$ - образующая конуса.

2. Полная поверхность конуса:
Полная поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Таким образом, формула для нахождения полной поверхности конуса будет следующей:
$$S_{\text{полная}}=S_{\text{основания}}+S_{\text{боковой поверхности}}$$
где $S_{\text{полная}}$ - полная поверхность, $S_{\text{основания}}$ - площадь основания (в данном случае это площадь равностороннего треугольника), $S_{\text{боковой поверхности}}$ - площадь боковой поверхности, которую мы уже нашли по предыдущей формуле.

3. Объем конуса:
Объем конуса можно найти по формуле:
$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$
где $V$ - объем конуса, $r$ - радиус основания конуса, $h$ - высота конуса.

Теперь, приступим к решению задачи с равносторонним треугольником со стороной $a$.

1. Найдем радиус основания конуса.
Так как осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник, то его высота равна:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
А по свойствам равностороннего треугольника, радиус описанной окружности равен:
$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$
Тогда радиус основания конуса будет равен половине радиуса описанной окружности:
$$r=\frac{R}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$

2. Найдем образующую конуса.
Образующая конуса равна высоте конуса, поэтому:
$$l=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

3. Найдем площадь боковой поверхности конуса.
Подставляем найденные значения в формулу для площади боковой поверхности:
$$S=\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi a^2}{4}$$

4. Найдем площадь основания равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
$$S_{\text{основания}}=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}$$

5. Найдем полную поверхность конуса.
Сумма площади боковой поверхности и площади основания дает полную поверхность:
$$S_{\text{полная}}=\frac{\pi a^2}{4}+\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}=\left(\frac{\pi +\sqrt{3}}{4}\right)a^2$$

6. Найдем объем конуса.
Подставляем значения в формулу для объема конуса:
$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi a^3}{36}$$

Таким образом, для конуса с осевым сечением, представляющим собой равносторонний треугольник со стороной $a$, получаем следующие результаты:
- Площадь боковой поверхности: $\frac{\pi a^2}{4}$
- Полная поверхность: $\left(\frac{\pi +\sqrt{3}}{4}\right)a^2$
- Объем: $\frac{\pi a^3}{36}$