Каковы наибольшее и наименьшее значения функции у= х3-3х2-45х+225 на промежутке [0;6]?

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y = x^3 - 3x^2 - 45x + 225\) на промежутке \([0;6]\), мы сначала найдем точки экстремума функции, а затем воспользуемся теоремой о знаке производной для определения, является ли точка минимумом или максимумом.

1) Найдем точки экстремума функции. Для этого найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[y" = 3x^2 - 6x - 45\]

2) Найдем корни уравнения \(y" = 0\), чтобы определить точки, в которых производная обращается в ноль:

\[3x^2 - 6x - 45 = 0\]

Можно разделить это уравнение на 3, чтобы упростить его:

\[x^2 - 2x - 15 = 0\]

3) Решим полученное квадратное уравнение. Поиск двух корней даст нам две точки экстремума:

\[x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) = 0\]

Отсюда получаем два корня: \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -3\).

4) Теперь нам нужно проверить знаки производной на отрезке \([0;6]\) в каждом из трех интервалов: \((-\infty;-3)\), \((-3;5)\), и \((5;+\infty)\). Для этого выберем произвольную точку в каждом интервале и подставим ее в производную \(y"\).

- В интервале \((-\infty;-3)\): выберем \(x = -4\).

Подставим в \(y"\): \(y"(-4) = 3(-4)^2 - 6(-4) - 45 = 48 + 24 - 45 = 27\).

Так как результат положительный, на этом интервале производная положительна.

- В интервале \((-3;5)\): выберем \(x = 0\).

Подставим в \(y"\): \(y"(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 45 = -45\).

Результат отрицательный, значит, на этом интервале производная отрицательна.

- В интервале \((5;+\infty)\): выберем \(x = 6\).

Подставим в \(y"\): \(y"(6) = 3(6)^2 - 6(6) - 45 = 108 - 36 - 45 = 27\).

Так как результат положительный, на этом интервале производная положительна.

5) Изменение знака производной показывает, что функция \(y\) имеет минимум в точке \(x = -3\) и максимум в точке \(x = 5\).

6) Подставим найденные точки экстремума в исходную функцию \(y\) для определения их соответствующих значений:

- В точке \(x = -3\): \(y(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 45(-3) + 225 = -216 + 81 + 135 + 225 = 225\).
Значение функции в точке минимума равно 225.

- В точке \(x = 5\): \(y(5) = (5)^3 - 3(5)^2 - 45(5) + 225 = 125 - 75 - 225 + 225 = 50\).
Значение функции в точке максимума равно 50.

Таким образом, наибольшее значение функции \(y\) на промежутке \([0;6]\) равно 50, а наименьшее значение равно 225.