Каковы минимальный радиус и период вращения вокруг своей оси солнечного пульсара, который сжимается под действием силы

Для решения этой задачи нам понадобятся основные физические законы, такие как закон всемирного тяготения и закон сохранения энергии.

Сначала нам нужно найти значение массы пульсара, который сжимается после исчерпания внутренних источников энергии. Нам дано, что масса Солнца равна mc = 2 • 10^30 кг. Пусть масса пульсара будет mp.

Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. В начале пульсар обладает только кинетической энергией вращения, а после сжатия он будет обладать и потенциальной энергией, которую он получил из уменьшения кинетической энергии.

Кинетическая энергия вращения может быть записана следующим образом:
\( E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} I \omega^2 \),
где \( I \) - момент инерции пульсара, а \( \omega \) - угловая скорость вращения.

Так как пульсар является однородным шаром, момент инерции \( I \) может быть вычислен по формуле \( I = \frac{2}{5} M r^2 \), где \( M \) - масса пульсара, \( r \) - его радиус.

Теперь мы можем записать уравнение сохранения энергии:
\( E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}} \),
\( \frac{1}{2} I \omega^2 = G \frac{M m_p}{r} \),
где \( G \) - гравитационная постоянная.

Мы знаем значения для \( I \) (момент инерции однородного шара), \( M \) (масса Солнца) и \( r \) (радиус Солнца), а также предполагаем, что масса пульсара \( m_p \) и его радиус \( R \) - неизвестные величины.

Теперь приведем важное рассуждение: после сжатия пульсара, его радиус должен уменьшиться, и, следовательно, меньший радиус также вызовет увеличение его угловой скорости вращения. Чтобы найти минимальный радиус и период вращения, мы примем предложение о равенстве момента инерции до и после сжатия пульсара, т.е. \( I \omega^2 = I" \omega"^2 \), где \( I" \) - новый момент инерции пульсара, \( \omega" \) - новая угловая скорость.

Подставим значение \( I = \frac{2}{5} M r^2 \) и \( I" = \frac{2}{5} m_p R^2 \) в уравнение сохранения энергии и с учетом равенства моментов инерции получим:
\( \frac{1}{2} \frac{2}{5} M r^2 \omega^2 = G \frac{M m_p}{r} \) и
\( \frac{1}{2} \frac{2}{5} M r^2 \omega^2 = \frac{2}{5} m_p R^2 \omega"^2 \).

Мы можем отбросить некоторые константы и привести уравнение к более простому виду:
\( r \omega^2 = \frac{5 G m_p}{2 r} \) и
\( r \omega^2 = R^2 \omega"^2 \).

Теперь мы можем выразить радиус пульсара \( R \) через радиус Солнца \( r \):
\( R = \sqrt{\frac{5 G m_p}{2 \omega"^2}} \).

Для определения периода \( T \) нам нужно знать угловую скорость вращения пульсара. Используя формулу \( T = \frac{2\pi}{\omega} \), получаем:
\( T = \frac{2\pi}{\omega"} \).

Таким образом, минимальный радиус пульсара \( R \) и период вращения \( T \) могут быть вычислены с помощью формул:

\[ R = \sqrt{\frac{5 G m_p}{2 \omega"^2}} \]

\[ T = \frac{2\pi}{\omega"} \]

где значение угловой скорости\( \omega" \) может быть определено путем решения системы уравнений:

\[ r \omega^2 = \frac{5 G m_p}{2 r} \]

\[ r \omega^2 = R^2 \omega"^2 \]

Это является общим решением задачи. Теперь мы можем использовать данные, которые нам даны \( r = 7 \cdot 10^8 \) м, \( t_c = 2,2 \cdot 10^6 \) с, \( m_c = 2 \cdot 10^{30} \) кг, и значение гравитационной постоянной \( G = 6,7 \cdot 10^{-11} \) м^3/(кг с^2) для определения конкретных значений.