Каковы координаты точки минимума функции Y=(2-5x)cosx+5sinx+28?

Давайте найдем координаты точки минимума функции \(Y=(2-5x)\cos{x}+5\sin{x}+28\). Чтобы найти точку минимума, нам нужно найти производную функции и решить уравнение \(Y"=0\).

Сначала возьмем производную функции \(Y\) по \(x\):

\[Y"=-5\cos{x}+(5-5x)\sin{x}+5\cos{x}\]

Теперь приравняем \(Y"\) к нулю и решим уравнение:

\[-5\cos{x}+(5-5x)\sin{x}+5\cos{x}=0\]

Сократим подобные слагаемые:

\[(5-5x)\sin{x}=0\]

Получается, что либо \((5-5x)=0\), либо \(\sin{x}=0\).

1) Если \((5-5x)=0\):

Решим уравнение:

\[5-5x=0\]

\[5=5x\]

\[x=1\]

2) Если \(\sin{x}=0\):

Решим уравнение:

\(\sin{x}=0\) при \(x=0\).

Итак, мы получили две точки, в которых может находиться минимум функции: \(x=1\) и \(x=0\). Чтобы узнать, какая из этих точек является точкой минимума, нам нужно взять вторую производную функции \(Y\) и проанализировать ее поведение в каждой из найденных точек.

Для достоверности найдем вторую производную функции \(Y\):

\[Y""=-5\sin{x}+5\cos{x}-5\sin{x}-10x\cos{x}-5\cos{x}\]

Упростим выражение:

\[Y""=-10\sin{x}-10x\cos{x}\]

Теперь подставим найденные значения \(x=1\) и \(x=0\) в \(Y""\):

1) При \(x=1\):

\[Y""=-10\sin(1)-10\cdot1\cdot\cos(1)\]

\[Y""\approx-7.281\]

2) При \(x=0\):

\[Y""=-10\sin(0)-10\cdot0\cdot\cos(0)\]

\[Y""=0\]

Из полученных значений видно, что при \(x=1\) вторая производная функции \(Y\) отрицательна, а при \(x=0\) равна нулю. Это означает, что точка \(x=1\) является точкой минимума функции \((2-5x)\cos{x}+5\sin{x}+28\).

Чтобы найти соответствующие координаты точки минимума, подставим \(x=1\) в исходную функцию \(Y\):

\[Y=(2-5\cdot1)\cos{1}+5\sin{1}+28\]

\[Y=-3.32\]

Таким образом, координаты точки минимума функции \((2-5x)\cos{x}+5\sin{x}+28\) равны \(x=1\) и \(Y=-3.32\).