Каковы координаты центра и радиус круга, который описывает треугольник с вершинами а(4: 8) б(-3: 2) и с(1: -6)?

Для нахождения координат центра и радиуса описанного круга, описывающего треугольник с данными вершинами, мы можем воспользоваться серединным перпендикуляром.

Во-первых, найдем длины сторон треугольника. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}}\]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек.

Рассчитаем длины сторон треугольника.

a = \(\sqrt{{(4 - (-3))^2 + (8 - 2)^2}}\) = \(\sqrt{{(7)^2 + (6)^2}}\) = \(\sqrt{{49 + 36}}\) = \(\sqrt{{85}}\)

b = \(\sqrt{{(1 - 4)^2 + (-6 - 8)^2}}\) = \(\sqrt{{(-3)^2 + (-14)^2}}\) = \(\sqrt{{9 + 196}}\) = \(\sqrt{{205}}\)

c = \(\sqrt{{(1 - (-3))^2 + (-6 - 2)^2}}\) = \(\sqrt{{(4)^2 + (-8)^2}}\) = \(\sqrt{{16 + 64}}\) = \(\sqrt{{80}}\)

Теперь найдем серединные точки сторон треугольника. Для этого сложим координаты вершин каждой стороны и поделим полученные значения на 2.

Серединная точка между a и б:
\(x_{ab} = \frac{{4 + (-3)}}{2} = \frac{1}{2}\)
\(y_{ab} = \frac{{8 + 2}}{2} = 5\)

Серединная точка между б и с:
\(x_{bc} = \frac{{-3 + 1}}{2} = -1\)
\(y_{bc} = \frac{{2 + (-6)}}{2} = -2\)

Серединная точка между с и a:
\(x_{ca} = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\)
\(y_{ca} = \frac{{-6 + 8}}{2} = 1\)

Теперь найдем уравнения серединных перпендикуляров. Для этого мы можем использовать формулу наклона перпендикуляра:

\[m_{\perp} = -\frac{1}{m}\]

Где m - наклон рассматриваемой прямой.

Первый серединный перпендикуляр

Наклон стороны a: \(m_a = \frac{{y2 - y1}}{{x2 - x1}} = \frac{{8 - 2}}{{4 - (-3)}} = \frac{{6}}{{7}}\)

Наклон перпендикуляра к стороне a: \(m_{\perp_a} = -\frac{1}{{m_a}} = -\frac{1}{{\frac{6}{7}}} = -\frac{7}{6}\)

Уравнение перпендикуляра через точку (x_ab, y_ab):
\(y - y_{ab} = m_{\perp_a}(x - x_{ab})\)

Подставляем значения:
\(y - 5 = -\frac{7}{6}(x - \frac{1}{2})\)

Второй серединный перпендикуляр

Наклон стороны b: \(m_b = \frac{{y2 - y1}}{{x2 - x1}} = \frac{{2 - (-6)}}{{-3 - 1}} = \frac{{8}}{{-4}} = -2\)

Наклон перпендикуляра к стороне b: \(m_{\perp_b} = -\frac{1}{{m_b}} = -\frac{1}{{-2}} = \frac{1}{2}\)

Уравнение перпендикуляра через точку (x_bc, y_bc):
\(y - y_{bc} = m_{\perp_b}(x - x_{bc})\)

Подставляем значения:
\(y + 2 = \frac{1}{2}(x + 1)\)

Третий серединный перпендикуляр

Наклон стороны c: \(m_c = \frac{{y2 - y1}}{{x2 - x1}} = \frac{{-6 - 8}}{{1 - 4}} = \frac{{-14}}{{-3}} = \frac{{14}}{{3}}\)

Наклон перпендикуляра к стороне c: \(m_{\perp_c} = -\frac{1}{{m_c}} = -\frac{1}{{\frac{14}{3}}} = -\frac{3}{14}\)

Уравнение перпендикуляра через точку (x_ca, y_ca):
\(y - y_{ca} = m_{\perp_c}(x - x_{ca})\)

Подставляем значения:
\(y - 1 = -\frac{3}{14}(x - \frac{5}{2})\)

Решим систему уравнений, состоящую из трех перпендикулярных прямых. Для этого найдем точку пересечения каждых двух прямых.

1: \(y - 5 = -\frac{7}{6}(x - \frac{1}{2})\)
2: \(y + 2 = \frac{1}{2}(x + 1)\)

\[y - 5 = -\frac{7}{6}(x - \frac{1}{2}) \implies 6(y - 5) = -7(x - \frac{1}{2})\]
\[y + 2 = \frac{1}{2}(x + 1) \implies 2(y + 2) = x + 1\]

\[6y - 30 = -7x + \frac{7}{2}\]
\[2y + 4 = x + 1\]

\[6y + 7x = \frac{37}{2}\]
\[x - 2y = -3\]

\[
\begin{cases}
6y + 7x = \frac{37}{2} \\
x - 2y = -3
\end{cases}
\]

Решим эту систему уравнений с помощью метода сложения.

Умножим второе уравнение на 7 и сложим с первым:

\[7x - 14y = -21\]
\[7x + 6y = \frac{37}{2}\]
-------------------
\[20y = \frac{55}{2}\]
\[y = \frac{55}{40} = \frac{11}{8}\]

Подставим y во второе уравнение:

\[x - 2(\frac{11}{8}) = -3\]
\[x - \frac{11}{4} = -3\]
\[x = -3 + \frac{11}{4} = -\frac{12}{4} + \frac{11}{4} = \frac{-1}{4}\]

Таким образом, точка пересечения всех трех прямых имеет координаты (x, y) = (\(\frac{-1}{4}\), \(\frac{11}{8}\)).

Эта точка является центром описанного круга, поскольку все три серединных перпендикуляра пересекаются в этой точке.

Теперь мы можем найти радиус круга. Для этого мы рассчитаем расстояние от центра круга до одной из вершин треугольника (например, от центра к точке а).

r = \(\sqrt{{(x_{center} - x_{a})^2 + (y_{center} - y_{a})^2}}\)

r = \(\sqrt{{(\frac{-1}{4} - 4)^2 + (\frac{11}{8} - 8)^2}}\)
r = \(\sqrt{{(\frac{-17}{4})^2 + (\frac{-53}{8})^2}}\)
r = \(\sqrt{{(\frac{289}{16}) + (\frac{2809}{64})}}\)
r = \(\sqrt{{(\frac{2809 + 4489}{64})}}\)
r = \(\sqrt{{\frac{7298}{64}}}\)
r = \(\sqrt{{\frac{114}{1}}}\)
r = \(\frac{8\sqrt{114}}{8}\)
r = \(\sqrt{114}\)

Итак, координаты центра описанного круга - \(\frac{-1}{4}\) и \(\frac{11}{8}\), а радиус - \(\sqrt{114}\).