Каковы длины сторон основания прямого параллелепипеда, если его угол между ними составляет 45°, а меньшая диагональ

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать знание тригонометрии и формулы для нахождения длины сторон прямоугольного треугольника.

Пусть $a$ и $b$ - длины сторон основания прямого параллелепипеда, а $c$ - высота. У нас также есть информация о меньшей диагонали, равной 9.

Мы знаем, что угол между сторонами основания составляет 45°. Для прямоугольного треугольника это означает, что отношение сторон равно $\frac{a}{b}=\frac{1}{1}=1$.

Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти высоту $c$ этого треугольника:

$$c^2=a^2+b^2$$

Так как угол между сторонами составляет 45°, то катеты равны, и мы можем записать это выражение в виде:

$$c^2=1^2\cdot a^2+1^2\cdot a^2=2a^2$$

Теперь у нас есть соотношение между $c$ и $a$. Также у нас есть информация о меньшей диагонали, которая равна 9. Меньшая диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, поэтому мы можем записать уравнение:

$$9^2=a^2+b^2$$

Как только мы найдем $a$, мы сможем найти $b$ с помощью отношения сторон 1:1.

Давайте решим это уравнение:

$$9^2=a^2+b^2$$

$$81=2a^2+a^2$$

$$81=3a^2$$

Теперь найдем $a$:

$$a^2=\frac{81}{3}$$

$$a^2=27$$

$$a=\sqrt{27}$$

$$a=3\sqrt{3}$$

Таким образом, длина стороны $a$ равна $3\sqrt{3}$. Поскольку стороны противоположными сторонами параллелепипеда равны, то длина стороны $b$ также равна $3\sqrt{3}$.

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно найти периметр основания $P$:

$$P=2a+2b=2(3\sqrt{3})+2(3\sqrt{3})=12\sqrt{3}$$

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, умножив периметр на высоту $c$:

$$S_{бок}=P\cdot c=12\sqrt{3}\cdot \sqrt{2a^2}=12\sqrt{3}\cdot \sqrt{2(3\sqrt{3}{)}^2}$$

$$S_{бок}=12\sqrt{3}\cdot \sqrt{2\cdot 27}$$

$$S_{бок}=12\sqrt{3}\cdot \sqrt{54}$$

$$S_{бок}=12\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{6}$$

$$S_{бок}=36\sqrt{3\cdot 6}$$

$$S_{бок}=36\sqrt{18}$$

$$S_{бок}=36\cdot 3\sqrt{2}$$

$$S_{бок}=108\sqrt{2}$$

Теперь, чтобы найти полную поверхность параллелепипеда, мы должны добавить площадь оснований к площади боковой поверхности. Поскольку у нас есть два основания и каждое основание прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником со сторонами $a$ и $b$, то мы можем записать это как:

$$S_{полн}=2(ab)+S_{бок}$$

$$S_{полн}=2(3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3})+108\sqrt{2}$$

$$S_{полн}=2(9\sqrt{3})+108\sqrt{2}$$

$$S_{полн}=18\sqrt{3}+108\sqrt{2}$$

Таким образом, площадь боковой поверхности равна $108\sqrt{2}$, а полная поверхность параллелепипеда равна $18\sqrt{3}+108\sqrt{2}$.