Каковы длины сторон основания прямого параллелепипеда, если его угол между ними составляет 45°, а меньшая диагональ равна 9? Каковы площади его боковой и полной поверхности?
Роберт
Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать знание тригонометрии и формулы для нахождения длины сторон прямоугольного треугольника.
Пусть \(a\) и \(b\) - длины сторон основания прямого параллелепипеда, а \(c\) - высота. У нас также есть информация о меньшей диагонали, равной 9.
Мы знаем, что угол между сторонами основания составляет 45°. Для прямоугольного треугольника это означает, что отношение сторон равно \(\frac{a}{b} = \frac{1}{1} = 1\).
Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти высоту \(c\) этого треугольника:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
Так как угол между сторонами составляет 45°, то катеты равны, и мы можем записать это выражение в виде:
\[c^2 = 1^2 \cdot a^2 + 1^2 \cdot a^2 = 2a^2\]
Теперь у нас есть соотношение между \(c\) и \(a\). Также у нас есть информация о меньшей диагонали, которая равна 9. Меньшая диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, поэтому мы можем записать уравнение:
\[9^2 = a^2 + b^2\]
Как только мы найдем \(a\), мы сможем найти \(b\) с помощью отношения сторон 1:1.
Давайте решим это уравнение:
\[9^2 = a^2 + b^2\]
\[81 = 2a^2 + a^2\]
\[81 = 3a^2\]
Теперь найдем \(a\):
\[a^2 = \frac{81}{3}\]
\[a^2 = 27\]
\[a = \sqrt{27}\]
\[a = 3\sqrt{3}\]
Таким образом, длина стороны \(a\) равна \(3\sqrt{3}\). Поскольку стороны противоположными сторонами параллелепипеда равны, то длина стороны \(b\) также равна \(3\sqrt{3}\).
Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно найти периметр основания \(P\):
\[P = 2a + 2b = 2(3\sqrt{3}) + 2(3\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}\]
Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, умножив периметр на высоту \(c\):
\[S_{бок} = P \cdot c = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2a^2} = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2(3\sqrt{3})^2}\]
\[S_{бок} = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2 \cdot 27}\]
\[S_{бок} = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{54}\]
\[S_{бок} = 12\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{6}\]
\[S_{бок} = 36\sqrt{3\cdot6}\]
\[S_{бок} = 36\sqrt{18}\]
\[S_{бок} = 36 \cdot 3\sqrt{2}\]
\[S_{бок} = 108\sqrt{2}\]
Теперь, чтобы найти полную поверхность параллелепипеда, мы должны добавить площадь оснований к площади боковой поверхности. Поскольку у нас есть два основания и каждое основание прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником со сторонами \(a\) и \(b\), то мы можем записать это как:
\[S_{полн} = 2(ab) + S_{бок}\]
\[S_{полн} = 2(3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}) + 108\sqrt{2}\]
\[S_{полн} = 2(9\sqrt{3}) + 108\sqrt{2}\]
\[S_{полн} = 18\sqrt{3} + 108\sqrt{2}\]
Таким образом, площадь боковой поверхности равна \(108\sqrt{2}\), а полная поверхность параллелепипеда равна \(18\sqrt{3} + 108\sqrt{2}\).
Пусть \(a\) и \(b\) - длины сторон основания прямого параллелепипеда, а \(c\) - высота. У нас также есть информация о меньшей диагонали, равной 9.
Мы знаем, что угол между сторонами основания составляет 45°. Для прямоугольного треугольника это означает, что отношение сторон равно \(\frac{a}{b} = \frac{1}{1} = 1\).
Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти высоту \(c\) этого треугольника:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
Так как угол между сторонами составляет 45°, то катеты равны, и мы можем записать это выражение в виде:
\[c^2 = 1^2 \cdot a^2 + 1^2 \cdot a^2 = 2a^2\]
Теперь у нас есть соотношение между \(c\) и \(a\). Также у нас есть информация о меньшей диагонали, которая равна 9. Меньшая диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, поэтому мы можем записать уравнение:
\[9^2 = a^2 + b^2\]
Как только мы найдем \(a\), мы сможем найти \(b\) с помощью отношения сторон 1:1.
Давайте решим это уравнение:
\[9^2 = a^2 + b^2\]
\[81 = 2a^2 + a^2\]
\[81 = 3a^2\]
Теперь найдем \(a\):
\[a^2 = \frac{81}{3}\]
\[a^2 = 27\]
\[a = \sqrt{27}\]
\[a = 3\sqrt{3}\]
Таким образом, длина стороны \(a\) равна \(3\sqrt{3}\). Поскольку стороны противоположными сторонами параллелепипеда равны, то длина стороны \(b\) также равна \(3\sqrt{3}\).
Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно найти периметр основания \(P\):
\[P = 2a + 2b = 2(3\sqrt{3}) + 2(3\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}\]
Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, умножив периметр на высоту \(c\):
\[S_{бок} = P \cdot c = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2a^2} = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2(3\sqrt{3})^2}\]
\[S_{бок} = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2 \cdot 27}\]
\[S_{бок} = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{54}\]
\[S_{бок} = 12\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{6}\]
\[S_{бок} = 36\sqrt{3\cdot6}\]
\[S_{бок} = 36\sqrt{18}\]
\[S_{бок} = 36 \cdot 3\sqrt{2}\]
\[S_{бок} = 108\sqrt{2}\]
Теперь, чтобы найти полную поверхность параллелепипеда, мы должны добавить площадь оснований к площади боковой поверхности. Поскольку у нас есть два основания и каждое основание прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником со сторонами \(a\) и \(b\), то мы можем записать это как:
\[S_{полн} = 2(ab) + S_{бок}\]
\[S_{полн} = 2(3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}) + 108\sqrt{2}\]
\[S_{полн} = 2(9\sqrt{3}) + 108\sqrt{2}\]
\[S_{полн} = 18\sqrt{3} + 108\sqrt{2}\]
Таким образом, площадь боковой поверхности равна \(108\sqrt{2}\), а полная поверхность параллелепипеда равна \(18\sqrt{3} + 108\sqrt{2}\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
