Каковы длины оставшихся двух сторон треугольника, если один из его углов равен 60 градусов, противоположная сторона

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов, которая устанавливает соотношение между сторонами и углами треугольника.

В данном случае у нас имеется треугольник, у которого один из углов равен 60 градусов, а противоположная этому углу сторона равна 4. Пусть оставшиеся две стороны треугольника будут \(a\) и \(b\).

Согласно теореме синусов, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\sin \alpha}\]

где \(\alpha\) - это угол между стороной длиной 4 и биссектриссой.

Мы также знаем, что один из отрезков биссектриссы равен 1. Обозначим другой отрезок биссектриссы через \(x\).

Используя теорему Пифагора для треугольника с катетами \(x\) и \(1\) и гипотенузой \(b\), мы можем записать:

\[x^2 + 1^2 = b^2\]

Теперь мы можем последовательно решить эти уравнения, чтобы найти значения сторон \(a\) и \(b\).

Сначала решим уравнение для \(x\):

\[x^2 + 1 = b^2\]
\[x^2 = b^2 - 1\]
\[x = \sqrt{b^2 - 1}\]

Теперь решим уравнение для \(a\):

\[\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{4}{\sin \alpha}\]
\[a = \frac{4 \cdot \sin 60^\circ}{\sin \alpha}\]

Теперь подставим значение \(x\) в уравнение для \(a\), чтобы найти зависимость \(a\) от \(b\):

\[a = \frac{4 \cdot \sin 60^\circ}{\sin \arcsin(\sqrt{b^2 - 1})}\]
\[a = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{b^2 - 1}}\]

Таким образом, длина оставшейся стороны \(a\) равна \(\frac{4 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{b^2 - 1}}\) и длина стороны \(b\) равна \(b\).