Каковы длины катетов треугольника авс, если известно, что гипотенуза ав равна 4√3 и внешний угол при вершине

Данная задача связана с применением тригонометрических соотношений в прямоугольных треугольниках. Для решения будем использовать теорему синусов.

Теорема синусов устанавливает соотношение между сторонами и углами треугольника: отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов является постоянной величиной.

В данной задаче гипотенуза треугольника равна \(4\sqrt{3}\), а мера внешнего угла при вершине составляет \(120\) градусов. Найдем длины катетов.

Обозначим катеты треугольника как \(AB\) и \(BC\), прилегающие к углу \(A\). Тогда можно записать теорему синусов следующим образом:

\[\frac{AB}{\sin B} = \frac{AC}{\sin A}\]

Зная, что угол \(A\) равен \(120\) градусов, найдем его синус. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух основных углов, то внутренний угол \(A\) равен \(180 - 120 = 60\) градусов.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с гипотенузой \(AC\) и катетами \(AB\) и \(BC\).

Так как синус угла \(A\) равен отношению противолежащего катета \(AB\) к гипотенузе \(AC\), то можно записать следующее уравнение:

\[\sin 60 = \frac{AB}{4\sqrt{3}}\]

Вычислим синус \(60\) градусов:

\[\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь решим уравнение:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{4\sqrt{3}}\]

Перемножим обе стороны уравнения на \(4\sqrt{3}\):

\[4AB = 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}\]

Упростим выражение:

\[4AB = 2 \cdot 3 \cdot 4\]

\[4AB = 24\]

Разделим обе стороны на \(4\):

\[AB = 6\]

Таким образом, длина катета \(AB\) равна \(6\).

Для нахождения длины катета \(BC\) воспользуемся свойством прямого треугольника, согласно которому сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

То есть:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

Подставим известные значения:

\[6^2 + BC^2 = (4\sqrt{3})^2\]

\[36 + BC^2 = 48\]

Вычтем \(36\) из обеих сторон уравнения:

\[BC^2 = 48 - 36\]

\[BC^2 = 12\]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон:

\[BC = \sqrt{12}\]

Application result