Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной

Данная задача связана с использованием теоремы Пифагора в прямоугольных треугольниках. Давайте разберемся в решении пошагово:

1. У нас есть прямоугольный треугольник, обозначим его катеты как \(a\) и \(b\), а гипотенузу как \(c\).
2. По условию, высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на два отрезка длиной 6 см и \(c - 6\) см. Значит, мы можем записать следующее соотношение:
\[a = 6 \, \text{см}\]
\[b = c - 6 \, \text{см}\]
3. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
4. Подставляем значения, полученные на шаге 2, в уравнение на шаге 3:
\[c^2 = (6 \, \text{см})^2 + (c - 6 \, \text{см})^2\]
5. Раскрываем квадраты и упрощаем уравнение:
\[c^2 = 36 \, \text{см}^2 + c^2 - 12c + 36 \, \text{см}^2\]
6. Переносим все слагаемые с \(c^2\) на одну сторону уравнения:
\[0 = 72 \, \text{см}^2 - 12c\]
7. Упрощаем уравнение и делим на 12, чтобы выразить \(c\):
\[c = \frac{{72 \, \text{см}^2}}{{12}} = 6 \, \text{см}\]
8. Теперь, когда мы знаем значение \(c\), мы можем вычислить значение \(b\) по формуле, записанной на шаге 2:
\[b = c - 6 \, \text{см} = 6 \, \text{см} - 6 \, \text{см} = 0 \, \text{см}\]
Ответ: длина катета \(a\) равна 6 см, длина катета \(b\) равна 0 см, и длина гипотенузы \(c\) также равна 6 см.

Надеюсь, это пошаговое объяснение поможет вам понять, как получить ответ на данную задачу.