Каковы длины диагоналей прямоугольника ABCD, если известно, что сторона CD равна 7 и угол DOC равен 60 градусов?

Чтобы найти длины диагоналей прямоугольника ABCD, нам понадобится использовать свойства треугольников.

Начнем с того, что прямоугольник ABCD - это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые. Также известно, что сторона CD равна 7 и угол DOC равен 60 градусов.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов. Давайте обозначим длины диагоналей прямоугольника ABCD как AC и BD.

В треугольнике DOC у нас есть известная сторона CD, угол DOC и мы хотим найти длину диагонали AC. Мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

\[AC^2 = CD^2 + DO^2 - 2 \cdot CD \cdot DO \cdot \cos(\angle DOC)\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[AC^2 = 7^2 + DO^2 - 2 \cdot 7 \cdot DO \cdot \cos(60^\circ)\]

Мы знаем, что угол DOC равен 60 градусов, поэтому \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).

\[AC^2 = 49 + DO^2 - 7 \cdot DO\]

Теперь нам нужно найти длину DO. Вспомним, что этот треугольник DOC является равносторонним треугольником, потому что угол DOC равен 60 градусов. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому DO равняется CD, то есть 7.

Подставляем значение DO в уравнение:

\[AC^2 = 49 + 7^2 - 7 \cdot 7\]

\[AC^2 = 49 + 49 - 49\]

\[AC^2 = 49\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, получаем:

\[AC = 7\]

Таким образом, длина диагонали AC равна 7.

Теперь, чтобы найти длину диагонали BD, мы можем использовать свойство прямоугольника, что диагонали являются взаимными диагоналями. Это означает, что AC и BD являются прямыми линиями, которые пересекаются в точке O, и эти отрезки равны.

Следовательно, длина диагонали BD также равна 7.

Таким образом, ответом на задачу является: длина диагоналей прямоугольника ABCD равна 7.