Каковы длины диагоналей параллелограмма ABCD, если его стороны равны 7 см и 4 см, а угол между ними составляет

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма ABCD, воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов позволяет нам найти сторону треугольника, если известны длины двух других сторон и величина между ними угла.

Для начала, обратимся к параллелограмму ABCD. У нас есть две стороны данного параллелограмма - одна равна 7 см, а другая равна 4 см. Известно, что угол между ними составляет 120°. Для удобства обозначим эти стороны как \(a = 7\) см и \(b = 4\) см, а угол между ними обозначим как \(\theta = 120^\circ\).

Чтобы найти длины диагоналей, нам понадобится найти третью сторону параллелограмма и величину угла, образованного этой стороной и одной из данных сторон. Назовем эту сторону \(c\) и угол \(\phi\).

Так как параллелограмм ABCD является плоским, сумма внутренних углов должна быть равна 360°. Мы знаем, что угол между двумя данными сторонами составляет 120°. Значит, угол \(\phi\) будет равен \(360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\).

Теперь у нас есть стороны \(a = 7\) см, \(b = 4\) см и углы \(\theta = 120^\circ\) и \(\phi = 240^\circ\). Мы можем применить теорему косинусов, чтобы найти третью сторону \(c\) параллелограмма.

Теорема косинусов имеет следующий вид:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\phi)\]

Подставляем известные значения:
\[c^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \cos(240^\circ)\]

Осталось рассчитать значение выражения. Не забывайте, что косинус угла 240° равен \(-\frac{1}{2}\).

\[c^2 = 49 + 16 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

Упрощаем:
\[c^2 = 49 + 16 + 14 = 79\]

Таким образом, длина третьей стороны параллелограмма \(c\) равна \(\sqrt{79}\) см.

Теперь мы можем найти диагонали параллелограмма, воспользовавшись теоремой Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Поскольку диагонали параллелограмма делят его на четыре прямоугольных треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора для каждого из них.

Для первого треугольника, диагонали \(d_1\) и \(c\) являются катетами, а стороной параллелограмма \(a\) является гипотенузой. Таким образом, мы имеем:
\[d_1^2 = a^2 + c^2\]
\[d_1^2 = 7^2 + (\sqrt{79})^2\]
\[d_1^2 = 49 + 79\]
\[d_1^2 = 128\]
\[d_1 = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\]

Аналогично, для второго треугольника, диагонали \(d_1\) и \(c\) являются катетами, а стороной параллелограмма \(b\) является гипотенузой. Мы получим:
\[d_2^2 = b^2 + c^2\]
\[d_2^2 = 4^2 + (\sqrt{79})^2\]
\[d_2^2 = 16 + 79\]
\[d_2^2 = 95\]
\[d_2 = \sqrt{95}\]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны \(8\sqrt{2}\) см и \(\sqrt{95}\) см, соответственно.