Каково значение синуса угла a, если тангенс a равен √5/7π, и a находится в интервале от π до 15π/2?

У нас дано, что тангенс угла \(a\) равен \(\frac{{\sqrt{5}}}{{7\pi}}\), а угол \(a\) находится в интервале от \(\pi\) до \(\frac{{15\pi}}{2}\).

Давайте рассмотрим, как мы можем использовать данную информацию, чтобы найти значение синуса угла \(a\). Начнем с определения тангенса и синуса угла.

Тангенс угла \(a\) определяется как отношение противоположной стороны к прилежащей стороне прямоугольного треугольника, то есть:
\[
\tan a = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{прилежащая сторона}}}}
\]

В нашем случае угол \(a\) находится в интервале от \(\pi\) до \(\frac{{15\pi}}{2}\), поэтому он лежит во второй и третьей четвертях. В этих четвертях тангенс положителен.

С помощью данной информации мы можем определить значимые стороны прямоугольного треугольника, связанного с углом \(a\). Обозначим противоположную сторону как \(p\) и прилежащую сторону как \(b\). Таким образом, \(\tan a = \frac{p}{b} = \frac{{\sqrt{5}}}{{7\pi}}\).

Теперь давайте рассмотрим соответствующий прямоугольный треугольник, где противоположная сторона равна \(\sqrt{5}\), а прилежащая сторона равна \(7\pi\). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону (гипотенузу) треугольника. Теорема Пифагора гласит:
\[
a^2 = b^2 + c^2
\]
где \(a\) - гипотенуза, \(b\) и \(c\) - катеты треугольника.

Применяя эту формулу к нашему треугольнику, получаем:
\[
(\sqrt{5})^2 = (7\pi)^2 + c^2
\]
\[
5 = 49\pi^2 + c^2
\]
Вычитаем \(49\pi^2\) из обеих сторон:
\[
c^2 = 5 - 49\pi^2
\]

Теперь, чтобы найти значение синуса угла \(a\), мы можем использовать определение синуса:
\[
\sin a = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]
В нашем случае противоположная сторона равна \(\sqrt{5}\), а гипотенуза равна \(\sqrt{5 - 49\pi^2}\).
Таким образом, значение синуса угла \(a\) равно:
\[
\sin a = \frac{{\sqrt{5}}}{{\sqrt{5 - 49\pi^2}}}
\]