Каково значение четвертого члена убывающей геометрической прогрессии, если известны значения третьего и пятого членов

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для членов геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где \(a_n\) - значение \(n\)-го члена прогрессии, \(a_1\) - значение первого члена, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - порядковый номер члена.

Мы знаем, что третий член прогрессии \(a_3\) равен 256 и пятый член прогрессии \(a_5\) равен \(\frac{1}{4}\). Таким образом, у нас есть следующие данные:

\[a_3 = 256\]
\[a_5 = \frac{1}{4}\]

Мы также знаем, что геометрическая прогрессия убывающая, поэтому значение знаменателя \(r\) будет меньше 1.

Для решения задачи нам нужно найти четвёртый член прогрессии, то есть \(a_4\).

Давайте пошагово найдем решение этой задачи:

1. Используем формулу для \(a_3\) и подставим в нее известные значения:
\[256 = a_1 \cdot r^{(3-1)}\]
\[256 = a_1 \cdot r^2\]

2. Аналогично, используем формулу для \(a_5\) и подставим в нее значения:
\[\frac{1}{4} = a_1 \cdot r^{(5-1)}\]
\[\frac{1}{4} = a_1 \cdot r^4\]

3. Теперь, возьмем уравнение с \(a_3\) и разделим его на уравнение с \(a_5\):
\[\frac{256}{\frac{1}{4}} = \frac{a_1 \cdot r^2}{a_1 \cdot r^4}\]
\[256 \cdot 4 = r^2 \cdot r^4\]
\[1024 = r^6\]

4. Возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{6}\) для нахождения значения \(r\):
\[\sqrt[6]{1024} = \sqrt[6]{r^6}\]
\[2 = r\]

5. Теперь, имея значение \(r = 2\), подставим его в уравнение с \(a_3\) для нахождения \(a_1\):
\[256 = a_1 \cdot 2^2\]
\[256 = 4a_1\]
\[a_1 = \frac{256}{4}\]
\[a_1 = 64\]

6. Наконец, используем найденные значения \(a_1\) и \(r\) для вычисления четвертого члена \(a_4\):
\[a_4 = a_1 \cdot r^{(4-1)}\]
\[a_4 = 64 \cdot 2^{(4-1)}\]
\[a_4 = 64 \cdot 2^3\]
\[a_4 = 64 \cdot 8\]
\[a_4 = 512\]

Таким образом, четвертый член убывающей геометрической прогрессии равен 512.