Каково уравнение окружности, которая задана в прямоугольной системе координат с вершинами треугольника

Чтобы найти уравнение окружности, заданной вершинами треугольника ABC, мы должны использовать две формулы: формулу центра окружности и формулу радиуса.

1. Найдем координаты центра окружности. Центр окружности можно найти как точку пересечения серединных перпендикуляров трех сторон треугольника. Давайте найдем серединные перпендикуляры для сторон AB и BC.

Для стороны AB:
Сначала найдем середину этой стороны. Средняя точка между точками A и B будет иметь координаты\(\left(\frac{{x_A+x_B}}{2}, \frac{{y_A+y_B}}{2}\right)\).
Заменив координаты, получим:
\(\left(\frac{{-4+0}}{2}, \frac{{-1+2}}{2}\right) = (-2, \frac{1}{2})\).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку A и имеющей коэффициент наклона, перпендикулярный AB. Коэффициент наклона перпендикуляра к наклону AB будет равен \(-\frac{1}{{\text{коэффициент наклона AB}}}\).
Коэффициент наклона AB можно найти, используя формулу:
\(\text{коэффициент наклона AB} = \frac{{y_B - y_A}}{{x_B - x_A}}\).
Подставим значения A и B и вычислим:
\(\text{коэффициент наклона AB} = \frac{{2 - (-1)}}{{0 - (-4)}} = \frac{3}{4}\).

Теперь у нас есть точка (-2, \(\frac{1}{2}\)) и коэффициент наклона перпендикуляра к AB, который равен \(-\frac{4}{3}\).
Используя формулу для уравнения прямой (\(y - y_1 = m(x - x_1)\)), подставим значение и вычислим уравнение прямой:
\(y - \frac{1}{2} = -\frac{4}{3}(x + 2)\).

Теперь найдем серединную перпендикулярную для стороны BC:
Аналогично предыдущему шагу, найдем середину и коэффициент наклона перпендикуляра. Вычисления показывают, что середина стороны BC имеет координаты (2, 0) и коэффициент наклона перпендикуляра равен -\(\frac{3}{4}\).
Используя формулу для уравнения прямой, получим:
\(y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 2)\).

2. Далее, чтобы найти точку пересечения этих двух перпендикулярных прямых, решим систему уравнений:
\[\begin{cases}y - \frac{1}{2} = -\frac{4}{3}(x + 2)\\y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 2)\end{cases}\].

Решение этой системы дает нам координаты центра окружности, которые равны (1, -\(\frac{7}{6}\)). Таким образом, центр окружности имеет координаты (1, -\(\frac{7}{6}\)).

3. Найдем радиус окружности. Радиус окружности равен расстоянию между центром окружности и одной из вершин треугольника ABC. Для примера, мы можем использовать расстояние между центром (1, -\(\frac{7}{6}\)) и вершиной A (-4, -1).

Расстояние между двумя точками A и B можно найти по формуле:
\(d = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}\).

Подставляя значения A и B, получаем:
\(d = \sqrt{{(1 - (-4))^2 + (-\frac{7}{6} - (-1))^2}} = \sqrt{{25 + \frac{36}{36}}} = \sqrt{{\frac{61}{36}}}\).
Мы можем упростить выражение, учитывая, что \(\sqrt{{a^2}} = |a|\). Поэтому радиус окружности равен \(\frac{\sqrt{61}}{6}\).

Таким образом, уравнение окружности, заданной вершинами треугольника ABC, будет иметь вид:
\((x - 1)^2 + \left(y + \frac{7}{6}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{61}}{6}\right)^2\).

Помните, что данное уравнение представляет окружность, центр которой находится в точке (1, -\(\frac{7}{6}\)) и радиусом \(\frac{\sqrt{61}}{6}\).