Каково сравнение между 12 в степени 67 и 8 в степени 77 и почему? (без ошибок

Чтобы выполнить это сравнение, начнем с рассмотрения значений \(12^{67}\) и \(8^{77}\) по отдельности.

Сначала посмотрим на значение \(12^{67}\). Мы можем разложить эту степень на простые множители, чтобы лучше понять ее значение.

\[12^{67} = (2 \cdot 2 \cdot 3)^{67} = 2^{67} \cdot 2^{67} \cdot 3^{67}\]

Далее, зная, что \(2^{10} = 1024\) и \(3^5 = 243\), мы можем выразить \(2^{67}\) и \(3^{67}\) в терминах 2 и 3 соответственно:

\[2^{67} = 2^{10 \cdot 6 + 7} = (2^{10})^6 \cdot 2^{7} = 1024^6 \cdot 2^{7}\]
\[3^{67} = 3^{5 \cdot 13 + 2} = (3^{5})^{13} \cdot 3^{2} = 243^{13} \cdot 3^{2}\]

Теперь мы можем рассчитать значения \(2^{67}\) и \(3^{67}\), используя уже известные значения:

\[2^{67} = 1024^6 \cdot 2^{7} \approx 1,071,508,607,535,104 \cdot 128 \approx 137,438,953,472\]
\[3^{67} = 243^{13} \cdot 3^{2} \approx 874,181,797,198,509,061,008,287 \cdot 9 \approx 7,867,336,174,786,581,052,783\]

Теперь перейдем к рассмотрению \(8^{77}\). Разложим эту степень на простые множители:

\[8^{77} = (2^3)^{77} = 2^{3 \cdot 77} = 2^{231}\]

Зная формулу \(2^{10} = 1024\), мы можем выразить \(2^{231}\) в терминах 2:

\[2^{231} = 2^{23 \cdot 10 + 1} = (2^{10})^{23} \cdot 2^{1} = 1024^{23} \cdot 2^{1} \approx 26,920,564,128,697,848,592,709,584\]

Итак, мы рассчитали значения для \(12^{67}\) и \(8^{77}\):

\(12^{67} \approx 137,438,953,472\)

\(8^{77} \approx 26,920,564,128,697,848,592,709,584\)

Теперь сравним эти два значения. Как мы видим, \(8^{77}\) гораздо больше, чем \(12^{67}\). Это связано с тем, что значение базы степени 8 больше, чем значение базы степени 12, а также с тем, что показатель степени 77 больше, чем показатель степени 67.

Таким образом, сравнение между \(12^{67}\) и \(8^{77}\) заключается в том, что \(8^{77}\) значительно превосходит \(12^{67}\) по величине.