Каково соотношение радиусов орбит двух искусственных спутников Земли, если их орбитальные периоды различаются в 8 раз?

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать закон Кеплера, который устанавливает связь между периодом обращения спутника вокруг планеты и полуосью его орбиты.

Период \(T\) и полуось орбиты \(a\) связаны следующим образом:

\[T^2 = k \cdot a^3 \]

где \(k\) - константа, зависящая от массы планеты и гравитационной постоянной.

Мы знаем, что орбитальные периоды спутников различаются в 8 раз. Пусть \(T_1\) и \(T_2\) будут периодами двух спутников, а \(a_1\) и \(a_2\) - соответствующими полуосями их орбит.

Тогда у нас есть следующая система уравнений:

\[
\begin{cases}
T_1^2 = k \cdot a_1^3 \\
T_2^2 = k \cdot a_2^3 \\
T_2 = 8 \cdot T_1
\end{cases}
\]

Давайте решим эту систему шаг за шагом.

Шаг 1: Выражаем \(T_2\) через \(T_1\):
\[T_2 = 8 \cdot T_1\]

Шаг 2: Подставляем это значение во второе уравнение:
\[(8 \cdot T_1)^2 = k \cdot a_2^3\]
\[64 \cdot T_1^2 = k \cdot a_2^3\]

Шаг 3: Подставляем первое уравнение во второе:
\[(k \cdot a_1^3)^2 = k \cdot a_2^3\]
\[k^2 \cdot a_1^6 = k \cdot a_2^3\]

Шаг 4: Упрощаем уравнения:
\(k^2 \cdot a_1^6 = k \cdot a_2^3\)

Шаг 5: Удаляем \(k\), так как оно присутствует в обоих сторонах уравнения:
\[a_1^6 = a_2^3\]

Шаг 6: Приводим это уравнение к следующему виду:
\[\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^6 = 1\]

Шаг 7: Извлекаем шестой корень из обеих сторон уравнения:
\[\frac{a_1}{a_2} = 1^{\frac{1}{6}}\]

Шаг 8: Упрощаем:
\[\frac{a_1}{a_2} = 1\]

Таким образом, соотношение радиусов орбит двух спутников Земли составляет 1:1. Это означает, что радиусы их орбит одинаковы.