Каково различие в освещенности, вызванной этими двумя звездами на Земле, если они имеют одинаковую яркость

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулу, связывающую яркость звезды, ее расстояние и освещенность на наблюдателе. Эта формула известна как "обратный квадрат расстояния". Давайте рассмотрим каждое требование по очереди.

1. Различие в освещенности на Земле:
Формула для освещенности на наблюдателе выглядит следующим образом:
\[B = \dfrac{L}{4\pi d^2}\]
где \(B\) - освещенность на наблюдателе, \(L\) - яркость звезды, \(d\) - расстояние от звезды до наблюдателя.

Оба звезды имеют одинаковую яркость, поэтому пусть \(L_1 = L_2 = L\) для удобства. Расстояния от звезд до наблюдателя составляют 10 пк и 1000 пк соответственно. Тогда для первой звезды (\(d_1 = 10\)) и второй звезды (\(d_2 = 1000\)) освещенности на наблюдателе будут следующими:
\[B_1 = \dfrac{L}{4\pi (10)^2}\]
\[B_2 = \dfrac{L}{4\pi (1000)^2}\]

Теперь мы можем рассчитать различие в освещенности. Для этого необходимо поделить освещенность второй звезды на освещенность первой.
\[\dfrac{B_2}{B_1} = \dfrac{\dfrac{L}{4\pi (1000)^2}}{\dfrac{L}{4\pi (10)^2}} = \dfrac{10^2}{1000^2} = \dfrac{1}{10,000}\]

Таким образом, различие в освещенности, вызванной этими двумя звездами на Земле, равно \(\dfrac{1}{10,000}\).

2. Различие в видимой звездной величине:
Видимая звездная величина - это характеристика яркости звезды, обратная ее яркости. Известно, что разность видимых звездных величин двух звезд определяется логарифмом отношения их освещенностей:
\[m_1 - m_2 = -2.5 \cdot \log_{10}\left(\dfrac{B_1}{B_2}\right)\]

Подставим значение различия в освещенности \(\dfrac{B_2}{B_1} = \dfrac{1}{10,000}\) в эту формулу:
\[m_1 - m_2 = -2.5 \cdot \log_{10}\left(\dfrac{1}{10,000}\right) = -2.5 \cdot (-4) = 10\]

Таким образом, их видимая звездная величина отличается на 10.

В итоге, различие в освещенности, вызванной этими двумя звездами на Земле, составляет \(\dfrac{1}{10,000}\), а их видимая звездная величина отличается на 10.