Каково расстояние от земной поверхности до искусственного спутника Земли, если его центростремительное ускорение равно

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон всемирного тяготения, который гласит:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Где:
- F - сила притяжения между двумя телами,
- G - гравитационная постоянная,
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел,
- r - расстояние между центрами тел.

Центростремительное ускорение связано с силой и массой вращающегося тела следующим образом:

\[F = m \cdot a_c\]

Где:
- \(F\) - сила, действующая на тело,
- \(m\) - масса тела,
- \(a_c\) - центростремительное ускорение.

Мы можем свести выражения воедино, чтобы найти расстояние \(r\):

\[m \cdot a_c = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Так как задача говорит о расстоянии до искусственного спутника Земли, \(m_1\) будет массой Земли, а \(m_2\) - массой спутника. Массы искусственных спутников обычно много меньше массы Земли, поэтому \(m_1\) можно принять равным массе Земли.

Гравитационная постоянная \(G\) составляет приблизительно \(6,674 \times 10^{-11} \: \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\).

Теперь подставим известные значения:

\[10 \: \text{м/с}^2 \cdot m = \frac{{6,674 \times 10^{-11} \: \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2) \cdot m \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r^2}}\]

Массу Земли можно найти в литературе и она составляет около \(5,972 \times 10^{24} \: \text{кг}\).

Теперь решим задачу относительно \(r\):

\[10 \: \text{м/с}^2 \cdot r^2 = \frac{{6,674 \times 10^{-11} \: \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2) \cdot m \cdot (5,972 \times 10^{24} \: \text{кг})}}{{m}}\]

Сократим единицы измерения и избавимся от \(m\):

\[10 \: \text{м} \cdot r^2 = 6,674 \times 10^{-11} \: \text{м}^3/(\text{с}^2) \cdot (5,972 \times 10^{24} \: \text{кг})\]

Поделим на 10:

\[r^2 = \frac{{6,674 \times 10^{-11} \: \text{м}^3/(\text{с}^2) \cdot (5,972 \times 10^{24} \: \text{кг})}}{{10 \: \text{м}}} \approx 4,007305 \times 10^{12} \: \text{м}^2\]

Возведём в квадрат обе части уравнения:

\[r \approx \sqrt{4,007305 \times 10^{12} \: \text{м}^2} \approx 2,001824 \times 10^6 \: \text{м}\]

Данное значение представляет собой расстояние от земной поверхности до искусственного спутника Земли. Теперь мы можем выразить его в радиусах Земли:

\[\frac{r}{R_{\text{Земли}}} = \frac{2,001824 \times 10^6 \: \text{м}}{6,371 \times 10^6 \: \text{м}} \approx 0,314524\]

Таким образом, расстояние от земной поверхности до искусственного спутника Земли составляет приблизительно 0,314524 радиуса Земли.