Каково расстояние от точки М до прямой, проведенной перпендикулярно к плоскости АВС, если ВМ=9см, Ас=10см, ВС=ВА=13

Чтобы найти расстояние от точки М до прямой, проведенной перпендикулярно к плоскости АВС, нужно воспользоваться формулой для нахождения расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве.

Формула для нахождения расстояния от точки M до прямой, проведенной через точку A и перпендикулярной к плоскости АВС, имеет вид:

\[d = \frac{{|\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{n}|}}{{|\overrightarrow{n}|}}\]

Где \(\overrightarrow{MA}\) - вектор, соединяющий точки M и A,
а \(\overrightarrow{n}\) - нормальный вектор, перпендикулярный плоскости АВС.

Для того чтобы найти нормальный вектор \(\overrightarrow{n}\), можно воспользоваться векторным произведением двух векторов, лежащих в плоскости АВС: \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\]

Давайте посчитаем все векторы и найдем расстояние.

1. Найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно получить, вычитая координаты точек A и B:

\(\overrightarrow{AB} = \left( x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A \right) = (13 - 0, 0 - 0, 7 - 0) = (13, 0, 7)\)

Вектор \(\overrightarrow{AC}\) также можно получить вычитанием координат точек A и C:

\(\overrightarrow{AC} = \left( x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A \right) = (13 - 0, 13 - 0, 0 - 0) = (13, 13, 0)\)

2. Найдем нормальный вектор \(\overrightarrow{n}\), вычислив векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{n} = \left( AB_y \cdot AC_z - AB_z \cdot AC_y, AB_z \cdot AC_x - AB_x \cdot AC_z, AB_x \cdot AC_y - AB_y \cdot AC_x \right)\)
\(\overrightarrow{n} = (0 \cdot 0 - 7 \cdot 13, 7 \cdot 13 - 13 \cdot 0, 13 \cdot 0 - 0 \cdot 7)\)
\(\overrightarrow{n} = (0 - 91, 91 - 0, 0 - 0)\)
\(\overrightarrow{n} = (-91, 91, 0)\)

3. Теперь найдем вектор \(\overrightarrow{MA}\), вычтем координаты точек M и A:

\(\overrightarrow{MA} = \left( x_A - x_M, y_A - y_M, z_A - z_M \right) = (0 - x_M, 0 - y_M, 0 - z_M) = (-x_M, -y_M, -z_M)\)

4. Подставим значения в формулу расстояния:

\[d = \frac{{|\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{n}|}}{{|\overrightarrow{n}|}}\]

\[d = \frac{{|-x_M \cdot (-91) + (-y_M) \cdot 91 + (-z_M) \cdot 0|}}{{\sqrt{(-91)^2 + 91^2 + 0^2}}}\]

\[d = \frac{{91(x_M - y_M)}}{{\sqrt{91^2 + 91^2}}}\]

\[d = \frac{{91(x_M - y_M)}}{{\sqrt{2 \cdot 91^2}}}\]

\[d = \frac{{91(x_M - y_M)}}{{91 \cdot \sqrt{2}}}\]

\[d = \frac{{x_M - y_M}}{{\sqrt{2}}}\]

Таким образом, расстояние от точки М до прямой, проведенной перпендикулярно к плоскости АВС, равно \(\frac{{x_M - y_M}}{{\sqrt{2}}}\) сантиметров.