Каково расстояние от точки броска до точки падения камня на землю? В начальный момент времени камень брошен

Чтобы вычислить расстояние от точки броска до точки падения камня на землю, мы можем разделить движение камня на горизонтальную и вертикальную составляющие и применить соответствующие уравнения движения.

Первым шагом мы можем определить время полета камня. Для этого мы можем использовать вертикальную составляющую начальной скорости и ускорение свободного падения. Формула для вертикального движения будет выглядеть следующим образом:

\[h = v_{0y}t + \frac{1}{2}gt^2\]

Где:
\(h\) - высота, которую достигнет камень,
\(v_{0y}\) - вертикальная составляющая начальной скорости,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(t\) - время полета.

В данной задаче камень брошен под углом 60°, и мы можем использовать формулу для разложения начальной скорости на его горизонтальную и вертикальную составляющие:

\[v_{0y} = v_0 \sin(\theta)\]

\[v_{0x} = v_0 \cos(\theta)\]

Где:
\(v_0\) - максимальный модуль вектора перемещения,
\(\theta\) - угол между вектором перемещения и горизонтом,
\(v_{0y}\) - вертикальная составляющая начальной скорости,
\(v_{0x}\) - горизонтальная составляющая начальной скорости.

Мы можем выразить \(v_{0x}\) следующим образом:

\[v_{0x} = v_0 \cos(60^\circ)\]

Следовательно, \(v_{0x} = \frac{v_0}{2}\).

Теперь, решим уравнение для высоты \(h\) при падении камня на землю:

\[h = 0\]

\[0 = v_{0y}t + \frac{1}{2}gt^2\]

Подставим значение для \(v_{0y}\):

\[0 = v_0 \sin(60^\circ) \cdot t + \frac{1}{2}gt^2\]

Упростим уравнение:

\[0 = \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 \cdot t + \frac{1}{2}gt^2\]

Теперь, найдем время полета камня, решив это уравнение. Для этого мы можем использовать квадратное уравнение:

\[\frac{1}{2}gt^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 \cdot t = 0\]

Разделим оба члена на \(t\):

\[\frac{1}{2}gt + \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 = 0\]

Учитывая, что \(g = 10 \, \text{м/с}^2\), мы можем привести уравнение к виду:

\[\frac{1}{2}(10)t + \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 = 0\]

Решим это уравнение:

\[5t + \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 = 0\]

\[\Rightarrow t = -\frac{\sqrt{3}}{10} \cdot \frac{2}{v_0}\]

Так как мы ищем положительное время, \(t > 0\), мы можем использовать только положительное значение для \(t\):

\[t = \frac{\sqrt{3}}{10} \cdot \frac{2}{v_0}\]

Теперь, для вычисления расстояния от точки броска до точки падения камня на землю, мы можем использовать горизонтальную составляющую начальной скорости и время полета, поскольку горизонтальная составляющая начальной скорости остается постоянной на протяжении всего полета камня:

\[d = v_{0x} \cdot t\]

\[d = \frac{v_0}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{10} \cdot \frac{2}{v_0}\]

Упростим выражение:

\[d = \frac{\sqrt{3}}{10}\]

Таким образом, расстояние от точки броска до точки падения камня на землю составляет \(\frac{\sqrt{3}}{10}\) метров.