Каково расстояние от центра вписанной окружности до третьей вершины в прямоугольном треугольнике, если известно

Чтобы найти расстояние от центра вписанной окружности до третьей вершины в прямоугольном треугольнике, воспользуемся свойством вписанной окружности. Это свойство заключается в том, что расстояние от центра окружности до любой стороны треугольника равно радиусу этой окружности. Так как у нас известны расстояния от центра до вершин острых углов, мы можем определить радиус вписанной окружности.

Давайте обозначим радиус вписанной окружности как \(r\). Из условия задачи, расстояние от центра окружности до вершины одного из острых углов равно \(\sqrt{5}\), а до вершины другого острого угла равно \(\sqrt{10}\). Поскольку в прямоугольном треугольнике два острых угла равны по 45 градусов, и они являются равнобедренными, то легко можем заметить, что \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{10}\) являются радиусами окружностей, касающихся сторон треугольника.

Теперь давайте рассмотрим треугольник с вершинами в центре вписанной окружности, вершиной третьей стороны треугольника и точкой, где окружности касаются сторон треугольника. У этого треугольника все стороны равны радиусам окружностей, то есть \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{10}\), а третья сторона равна радиусу вписанной окружности \(r\).

Теперь мы можем решить этот треугольник. Используем теорему Пифагора для него:

\[(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2 = r^2\]
\[5 + 10 = r^2\]
\[r^2 = 15\]
\[r = \sqrt{15}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\sqrt{15}\). А чтобы найти расстояние от центра вписанной окружности до третьей вершины треугольника, нужно просто взять радиус вписанной окружности и умножить на 2, так как третья вершина находится на расстоянии радиуса от центра окружности:

Расстояние от центра вписанной окружности до третьей вершины треугольника равно \(2\cdot\sqrt{15}\).