Каково отношение радиуса планеты к радиусу земли, если ускорение свободного падения на планете равно 4 м/с²

Чтобы найти отношение радиуса планеты к радиусу Земли, основываясь на ускорении свободного падения и одинаковой плотности, давайте воспользуемся формулой для ускорения свободного падения:

\[g = \frac{{GM}}{{r^2}}\]

где \(g\) - ускорение свободного падения, \(M\) - масса планеты (которую мы можем считать постоянной), а \(r\) - радиус планеты.

Также у нас есть дополнительная информация, что плотность на обеих планетах одинакова. Плотность (\(\rho\)) определяется как масса (\(M\)) деленная на объем (\(V\)):

\[\rho = \frac{M}{V}\]

Так как плотность одинакова на обеих планетах, то мы можем записать:

\[\frac{{M_1}}{{V_1}} = \frac{{M_2}}{{V_2}}\]

где индекс 1 относится к Земле, а индекс 2 относится к искомой планете.

Объем планеты можно выразить через радиус (\(r\)) следующим образом:

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Теперь у нас есть два уравнения, которые связывают радиус планеты и ускорение свободного падения. Давайте составим их.

Сначала подставим выражение для объема планеты в уравнение плотности:

\[\frac{{M_1}}{{\frac{4}{3} \pi r_1^3}} = \frac{{M_2}}{{\frac{4}{3} \pi r_2^3}}\]

Мы заметим, что масса планеты (\(M\)) в обоих случаях отменяется, поэтому мы можем упростить выражение:

\[\frac{{r_1^3}}{{r_2^3}} = \frac{{M_1}}{{M_2}}\]

Теперь мы можем использовать уравнение для ускорения свободного падения:

\[\frac{{GM_1}}{{r_1^2}} = \frac{{GM_2}}{{r_2^2}}\]

Мы также можем упростить это уравнение путем отмены постоянной \(G\):

\[\frac{{M_1}}{{r_1^2}} = \frac{{M_2}}{{r_2^2}}\]

Мы видим, что у нас есть два уравнения:

\[\frac{{r_1^3}}{{r_2^3}} = \frac{{M_1}}{{M_2}}\]
\[\frac{{M_1}}{{r_1^2}} = \frac{{M_2}}{{r_2^2}}\]

Мы можем упростить с помощью этих уравнений:

\[\frac{{r_1^3}}{{r_2^3}} = \frac{{M_1}}{{M_2}} \implies r_1^3 = r_2^3 \implies r_1 = r_2\]

Таким образом, если ускорение свободного падения и плотность равны на обеих планетах, то радиус планеты будет таким же, как радиус Земли.

Ответ: Отношение радиуса планеты к радиусу Земли будет равно 1:1.