Каково отношение периметра правильного треугольника к окружности, вписанной в него? Радиус вписанной окружности

Чтобы определить отношение периметра правильного треугольника к окружности, вписанной в него, давайте рассмотрим некоторые свойства и формулы, связанные с этой задачей.

Перед тем, как начать, давайте определим некоторые основные термины. Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны и все углы равны. Окружность, вписанная в треугольник, является окружностью, которая касается всех трех сторон треугольника.

Пусть \(P\) будет периметром правильного треугольника, а \(r\) - радиусом вписанной окружности. Обозначим также сторону треугольника как \(s\).

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать следующие свойства:

1. Окружность, вписанная в треугольник, касается каждой стороны треугольника в ее средней точке. Это означает, что каждая сторона треугольника делится на два отрезка, и каждый из этих отрезков является радиусом окружности \(r\).

2. Угол, образованный радиусом окружности и касательной к окружности, равен \(90^\circ\).

3. Угол между двумя радиусами окружности внутри правильного треугольника равен \(60^\circ\). Это происходит из того, что в правильном треугольнике все углы равны.

Теперь, используя эти свойства, мы можем решить задачу.

Периметр правильного треугольника можно определить как сумму длин всех его сторон:

\[P = 3s\]

Также мы можем выразить длины сторон треугольника через радиус вписанной окружности. Поскольку радиус окружности является отрезком, который делит каждую сторону на две равные части, длина каждой стороны треугольника составляет \(2r\).

Таким образом, мы можем записать:

\[P = 3 \cdot 2r = 6r\]

Теперь мы можем выразить отношение периметра к радиусу вписанной окружности:

\[\frac{P}{r} = \frac{6r}{r} = 6\]

Ответ: Отношение периметра правильного треугольника к радиусу вписанной окружности составляет 6.