Каково отношение оснований трапеции, если её вершину соединили с серединой её противоположной стороны, и полученный

Для решения этой задачи, давайте обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, а длину отрезка, соединяющего вершину трапеции с серединой противоположной стороны, обозначим через $x$.

Площадь трапеции можно выразить через основания и высоту трапеции. Пусть $h$ - высота трапеции. Тогда площадь трапеции можно записать следующим образом:

$$S=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

Теперь мы знаем, что полученный отрезок делит площадь трапеции в отношении 2:5. Из этого отношения можно составить уравнение:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2}{5}$$

Где $S_1$ и $S_2$ - площади двух частей, на которые разделяется площадь трапеции отрезком.

Мы можем выразить площади $S_1$ и $S_2$ через основания и высоту, используя формулу площади трапеции. После этого подставим их в уравнение и решим его:

$$\frac{\frac{(a+x)\cdot h}{2}}{\frac{(b+x)\cdot h}{2}}=\frac{2}{5}$$

Перемножим обе части уравнения на 2:

$$\frac{(a+x)\cdot h}{(b+x)\cdot h}=\frac{4}{5}$$

Теперь упростим это уравнение, сокращая и вынося общие множители:

$$\frac{a+x}{b+x}=\frac{4}{5}$$

Умножим обе части уравнения на $b+x$:

$$a+x=\frac{4}{5}\cdot (b+x)$$

Раскроем скобки:

$$a+x=\frac{4}{5}\cdot b+\frac{4}{5}\cdot x$$

Перенесем все члены с $x$ в одну часть уравнения:

$$x-\frac{4}{5}\cdot x=\frac{4}{5}\cdot b-a$$

Упростим это:

$$\frac{1}{5}\cdot x=\frac{4}{5}\cdot b-a$$

Теперь выразим $x$:

$$x=\frac{45\cdot b-a}{\frac{1}{5}}$$

Упростим:

$$x=5\cdot (4\cdot b-a)$$

Таким образом, мы получили выражение для длины отрезка $x$.

Теперь зная $x$, мы можем выразить отношение оснований $a$ и $b$:

$$\frac{a}{b}=\frac{a}{a+x}=\frac{a}{a+5\cdot (4\cdot b-a)}$$

Это и есть отношение оснований трапеции, полученное при соединении ее вершины с серединой противоположной стороны отрезком, который делит ее площадь в отношении 2:5. В этом выражении можно подставить известные значения оснований для получения конкретного числового значения отношения.