Каково отношение объема нового конуса к объему исходного, если радиус основания увеличили вдвое, а высоту уменьшили

Чтобы решить данную задачу, нам нужно использовать формулу для вычисления объема конуса.

Формула объема конуса выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Из условия задачи радиус основания нового конуса увеличили вдвое, то есть у нового конуса радиус будет равен \(2r\). А высоту уменьшили вдвое, то есть у нового конуса высота будет равна \(\frac{h}{2}\).

Теперь мы можем записать формулу для нового конуса:

\[V_{нового} = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 \left(\frac{h}{2}\right)\]

Чтобы упростить эту формулу, мы можем раскрыть скобки и сократить некоторые части:

\[V_{нового} = \frac{1}{3} \pi 4r^2 \cdot \frac{h}{2}\]
\[V_{нового} = \frac{1}{3} \pi 2 \cdot 2r^2 \cdot \frac{h}{2}\]

Теперь мы видим, что у нас есть сокращение \(\frac{2}{2}\) и \(\frac{1}{3} \cdot 2\) равно \(\frac{2}{3}\):

\[V_{нового} = \frac{2}{3} \pi r^2 h\]

Таким образом, отношение объема нового конуса к объему исходного равно \(\frac{2}{3}\).

Интуитивно можно объяснить это следующим образом. При увеличении радиуса основания в два раза, площадь основания нового конуса увеличивается в 4 раза (так как площадь основания пропорциональна квадрату радиуса). Однако, при уменьшении высоты в два раза, объем уменьшается в два раза. Таким образом, отношение объема нового конуса к объему исходного равно \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). В формуле объема конуса мы делим на 3, поэтому окончательно отношение составит \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Надеюсь, ответ был понятен. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!