Каково отношение моментов инерции диска (J1) и стержня (J2) относительно осей, указанных на рисунке? Масса диска

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для вычисления момента инерции различных тел. Рассмотрим оба объекта по отдельности.

1. Диск: Масса диска в два раза больше массы стержня, а диаметр диска в два раза меньше длины стержня. Обратите внимание, что масса влияет на момент инерции, а не на отношение моментов инерции. Формула для момента инерции диска относительно его оси вращения (перпендикулярной к диску и проходящей через его центр) выглядит следующим образом:

\[ J_{d} = \frac{1}{4} m_{d} R^{2} \]

где \( m_{d} \) - масса диска, а \( R \) - радиус диска. Однако, нам дан диаметр диска, а не радиус, поэтому нам нужно использовать отношение диаметра к радиусу: \( R = \frac{d}{2} \), где \( d \) - диаметр диска. В итоге формула для момента инерции диска принимает вид:

\[ J_{d} = \frac{1}{4} m_{d} \left(\frac{d}{2}\right)^{2} \]

2. Стержень: Для стержня формула для момента инерции относительно оси, проходящей через его один конец и перпендикулярной к стержню, выглядит так:

\[ J_{s} = \frac{1}{3} m_{s} L^{2} \]

где \( m_{s} \) - масса стержня, а \( L \) - его длина.

Теперь, когда у нас есть формулы для моментов инерции обоих объектов, мы можем сравнить их отношение. Для этого, разделим момент инерции диска на момент инерции стержня:

\[ \frac{J_{d}}{J_{s}} = \frac{\frac{1}{4} m_{d} \left(\frac{d}{2}\right)^{2}}{\frac{1}{3} m_{s} L^{2}} \]

Учитывая, что масса диска в два раза больше массы стержня, то \( m_{d} = 2m_{s} \):

\[ \frac{J_{d}}{J_{s}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot 2m_{s} \left(\frac{d}{2}\right)^{2}}{\frac{1}{3} m_{s} L^{2}} \]

Сокращая и упрощая выражение, получаем:

\[ \frac{J_{d}}{J_{s}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\left(\frac{d}{2}\right)^{2}}{L^{2}} \]

В результате, отношение моментов инерции диска и стержня равно половине квадрата отношения половины диаметра диска к длине стержня.