Каково основание системы счисления, если число 109 записывается как

Основание системы счисления - это число, по которому определяется разрядность чисел и способ их записи. В данной задаче нам дано число 109, представленное в системе счисления с неизвестным основанием. Это число записано как "214".

Для определения основания системы счисления, мы должны рассмотреть разряды данного числа. В числе "214" мы видим три разряда. Первый разряд - это единицы, второй разряд - десятки, и третий разряд - сотни.

Теперь мы можем проанализировать запись числа 109 в данной системе счисления. Находясь в системе счисления с основанием, которое мы хотим определить, мы видим, что первый разряд равен 4, второй разряд равен 1, а третий разряд равен 2.

Найдем каждый разряд числа 109 в десятичной системе счисления, чтобы определить основание. Разряды числа 109 также равны 4, 0 и 9.

Используя основание системы счисления, мы можем перевести это число обратно в десятичную систему счисления. Для этого нам нужно умножить каждое число на соответствующую степень основания и сложить полученные значения.

Таким образом, мы можем записать уравнение для числа 109 в неизвестной системе счисления:

\(4 \cdot (основание)^0 + 1 \cdot (основание)^1 + 2 \cdot (основание)^2 = 109\)

Данное уравнение позволяет нам найти значение основания системы счисления. Для этого нам нужно найти такое значение основания, при подстановке которого данное равенство выполняется.

Следующим шагом мы можем перевести это уравнение в квадратное уравнение и решить его. Для этого нам нужно раскрыть степени основания и привести уравнение к виду:

\(4 \cdot 1 + 1 \cdot (основание) + 2 \cdot (основание)^2 = 109\)

\((основание)^2 + (основание) - 105 = 0\)

Решим это квадратное уравнение с использованием стандартных методов, например, квадратного корня:

\(основание = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

где \(a = 1\), \(b = 1\) и \(c = -105\).

Подставим значения и решим уравнение:

\(основание = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1 \cdot 105}}{2 \cdot 1}\)

\(основание = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 420}}{2}\)

\(основание = \frac{-1 \pm \sqrt{421}}{2}\)

Таким образом, мы получаем два возможных значения основания:

\(основание_1 = \frac{-1 + \sqrt{421}}{2}\)

\(основание_2 = \frac{-1 - \sqrt{421}}{2}\)

Однако, в контексте данной задачи, мы ищем конкретное значение основания системы счисления. Поэтому мы должны выбрать положительное значение, так как основание не может быть отрицательным.

Таким образом, основание системы счисления, где число 109 записывается как "214", равно:

\(основание = \frac{-1 + \sqrt{421}}{2}\)

Однако, для полного решения задачи, мы должны вычислить это значение с помощью калькулятора:

\(основание \approx 8.449\) (округленно до трех десятичных знаков)

Итак, основание системы счисления, где число 109 записывается как "214", примерно равно 8.449.