Каково математическое ожидание общей суммы очков, возможных при бросании двух игральных костей?

Конечно! Для решения данной задачи мы можем воспользоваться понятием математического ожидания. Математическое ожидание обозначается символом $E$ и представляет собой среднее значение случайной величины.

Для начала, давайте определим, какие значения могут выпасть при бросании двух игральных костей. Каждая кость имеет шесть граней, на которых расположены числа от 1 до 6. При бросании двух костей, общая сумма может быть любым числом от 2 до 12.

Чтобы рассчитать математическое ожидание, нужно умножить каждую возможную сумму на ее вероятность, а затем сложить все полученные произведения.

Давайте составим таблицу, где первый столбец будет содержать возможные суммы, а второй столбец - вероятности выпадения этих сумм:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Сумма}& \text{Вероятность}\\ 2& ?\\ 3& ?\\ 4& ?\\ 5& ?\\ 6& ?\\ 7& ?\\ 8& ?\\ 9& ?\\ 10& ?\\ 11& ?\\ 12& ?\\ \hline\end{array}$$

Теперь рассчитаем вероятности выпадения каждой суммы.

Для начала, посмотрим, сколько способов получить сумму 2. Единственная комбинация, которая обеспечивает такую сумму, это выпадение двух единичек ($1+1$). Так как каждая кость имеет 6 граней, общее количество возможных комбинаций равно $6\times 6=36$. Следовательно, вероятность получить сумму 2 равна $\frac{1}{36}$.

Аналогично, для суммы 3 есть две возможные комбинации: ($1+2$) и ($2+1$). Таким образом, вероятность получить сумму 3 также равна $\frac{2}{36}$.

Выполняя аналогичные рассуждения для всех остальных сумм, мы получим следующую таблицу вероятностей:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Сумма}& \text{Вероятность}\\ 2& \frac{1}{36}\\ 3& \frac{2}{36}\\ 4& \frac{3}{36}\\ 5& \frac{4}{36}\\ 6& \frac{5}{36}\\ 7& \frac{6}{36}\\ 8& \frac{5}{36}\\ 9& \frac{4}{36}\\ 10& \frac{3}{36}\\ 11& \frac{2}{36}\\ 12& \frac{1}{36}\\ \hline\end{array}$$

Теперь, чтобы рассчитать математическое ожидание, умножим каждую сумму на ее вероятность и просуммируем все произведения:

$$E=2\cdot \frac{1}{36}+3\cdot \frac{2}{36}+4\cdot \frac{3}{36}+5\cdot \frac{4}{36}+6\cdot \frac{5}{36}+7\cdot \frac{6}{36}+8\cdot \frac{5}{36}+9\cdot \frac{4}{36}+10\cdot \frac{3}{36}+11\cdot \frac{2}{36}+12\cdot \frac{1}{36}$$

Выполнив вычисления, мы получим:

$$E=7$$

Таким образом, математическое ожидание общей суммы очков при бросании двух игральных костей равно 7.

Данный результат можно объяснить следующим образом: суммы 7 имеют наибольшую вероятность выпадения, так как существует больше всего комбинаций, дающих такую сумму. Также суммы 2 и 12 имеют самую низкую вероятность, так как только одна комбинация дает такую сумму. Все остальные суммы имеют промежуточные вероятности в соответствии с количеством соответствующих комбинаций.