Каково математическое ожидание общей суммы очков, возможных при бросании двух игральных костей?

Конечно! Для решения данной задачи мы можем воспользоваться понятием математического ожидания. Математическое ожидание обозначается символом \(E\) и представляет собой среднее значение случайной величины.

Для начала, давайте определим, какие значения могут выпасть при бросании двух игральных костей. Каждая кость имеет шесть граней, на которых расположены числа от 1 до 6. При бросании двух костей, общая сумма может быть любым числом от 2 до 12.

Чтобы рассчитать математическое ожидание, нужно умножить каждую возможную сумму на ее вероятность, а затем сложить все полученные произведения.

Давайте составим таблицу, где первый столбец будет содержать возможные суммы, а второй столбец - вероятности выпадения этих сумм:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Сумма} & \text{Вероятность} \\
\hline
2 & ? \\
\hline
3 & ? \\
\hline
4 & ? \\
\hline
5 & ? \\
\hline
6 & ? \\
\hline
7 & ? \\
\hline
8 & ? \\
\hline
9 & ? \\
\hline
10 & ? \\
\hline
11 & ? \\
\hline
12 & ? \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь рассчитаем вероятности выпадения каждой суммы.

Для начала, посмотрим, сколько способов получить сумму 2. Единственная комбинация, которая обеспечивает такую сумму, это выпадение двух единичек (\(1 + 1\)). Так как каждая кость имеет 6 граней, общее количество возможных комбинаций равно \(6 \times 6 = 36\). Следовательно, вероятность получить сумму 2 равна \(\frac{1}{36}\).

Аналогично, для суммы 3 есть две возможные комбинации: (\(1+2\)) и (\(2+1\)). Таким образом, вероятность получить сумму 3 также равна \(\frac{2}{36}\).

Выполняя аналогичные рассуждения для всех остальных сумм, мы получим следующую таблицу вероятностей:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Сумма} & \text{Вероятность} \\
\hline
2 & \frac{1}{36} \\
\hline
3 & \frac{2}{36} \\
\hline
4 & \frac{3}{36} \\
\hline
5 & \frac{4}{36} \\
\hline
6 & \frac{5}{36} \\
\hline
7 & \frac{6}{36} \\
\hline
8 & \frac{5}{36} \\
\hline
9 & \frac{4}{36} \\
\hline
10 & \frac{3}{36} \\
\hline
11 & \frac{2}{36} \\
\hline
12 & \frac{1}{36} \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, чтобы рассчитать математическое ожидание, умножим каждую сумму на ее вероятность и просуммируем все произведения:

\[
E = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36}
\]

Выполнив вычисления, мы получим:

\[
E = 7
\]

Таким образом, математическое ожидание общей суммы очков при бросании двух игральных костей равно 7.

Данный результат можно объяснить следующим образом: суммы 7 имеют наибольшую вероятность выпадения, так как существует больше всего комбинаций, дающих такую сумму. Также суммы 2 и 12 имеют самую низкую вероятность, так как только одна комбинация дает такую сумму. Все остальные суммы имеют промежуточные вероятности в соответствии с количеством соответствующих комбинаций.