Каково математическое ожидание количества белых пулов при извлечении 16 шаров из ящика, в котором находится 12 белых

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей о математическом ожидании.

Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины представляет собой среднее значение, которое мы ожидаем получить при многократном повторении определенного случайного эксперимента. Для решения этой задачи мы сначала должны выяснить вероятность получить каждый из возможных результатов, а затем умножить эти вероятности на соответствующее значение и сложить их. Давайте начнем.

Пусть \(X\) будет случайной величиной, представляющей количество "белых шаров", которые мы получим из ящика при извлечении 16 шаров. Мы знаем, что в ящике находится 12 белых и 4 черных шара.

На каждой попытке мы выбираем один шар из ящика и записываем его цвет. Вероятность выбора белого шара на первой попытке равна количеству белых шаров в ящике (12) делить на общее количество шаров в ящике (16). Это равно \(\frac{12}{16}\).

После извлечения одного шар, количество белых шаров в ящике уменьшается на 1, а общее количество шаров уменьшается на 1. Вероятность выбора белого шара на второй попытке равна количеству оставшихся белых шаров (11) делить на общее количество оставшихся шаров в ящике (15). Это равно \(\frac{11}{15}\).

Аналогично, вероятность выбора белого шара на третьей попытке будет составлять \(\frac{10}{14}\), на четвертой - \(\frac{9}{13}\), и так далее.

Математическое ожидание количества "белых пулов" можно выразить формулой:

\[
E(X) = 16 \cdot \left(\frac{12}{16}\right) + 15 \cdot \left(\frac{11}{15}\right) + 14 \cdot \left(\frac{10}{14}\right) + \ldots + 1 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)
\]

Теперь мы можем упростить это выражение:

\[
E(X) = 12 + 11 + 10 + \ldots + 1
\]

Это арифметическая прогрессия. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии, можно использовать формулу

\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n),
\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

В нашем случае, \(n = 12\) (потому что выбирается 12 белых шаров), \(a_1 = 1\) (первый член равен 1), \(a_n = 12\) (последний член равен 12).

Подставляя эти значения, получим:

\[
E(X) = \frac{12}{2} \cdot (1 + 12) = 6 \cdot 13 = 78.
\]

Итак, математическое ожидание количества "белых пулов" при извлечении 16 шаров из ящика составляет 78.

Надеюсь, что эта подробная и пошаговая информация помогла вам понять, как решить данную задачу о математическом ожидании. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!