Каково максимальное основание системы числения, в которой число 40 записывается с использованием ровно 3 значимых

Чтобы понять максимальное основание системы числения для записи числа 40 с использованием ровно 3 значимых разрядов, давайте разберемся, как работает позиционная система счисления.

В позиционной системе счисления каждая позиция в числе имеет свое значение, определяемое основанием системы. Например, в десятичной системе счисления, основание равно 10. Позиция справа от значения единиц имеет вес 10, позиция слева от значения десятков имеет вес 100, позиция слева от значения сотен имеет вес 1000, и так далее.

Теперь посмотрим на число 40. Мы хотим записать его с использованием ровно 3 значимых разрядов. Пусть основание системы счисления, которую мы используем, равно \(n\). Тогда число 40 может быть записано в виде:

\[4 \cdot n^2 + 0 \cdot n^1 + 0 \cdot n^0\]

Здесь \(n^2\) представляет вес позиции с наибольшим значением, \(n^1\) - позиции среднего значения, \(n^0\) - позиции с наименьшим значением.

Так как мы хотим использовать ровно 3 значимых разряда, то наибольший вес будет \(n^2\) и должен быть равен или меньше 40. Поскольку 40 уже больше некоторых возможных значений \(n^2\), мы можем определить, что максимальное значение основания системы счисления будет находиться между значениями, которые превышают 40.

Давайте рассмотрим несколько возможных оснований системы счисления для числа 40 с 3 значимыми разрядами:

1. Если мы возьмем основание равным 5, то \(5^2 = 25 < 40\), что слишком мало.
2. Если мы возьмем основание равным 6, то \(6^2 = 36 < 40\), что также недостаточно.
3. Если мы возьмем основание равным 7, то \(7^2 = 49 > 40\), что больше нужного.

Таким образом, максимальное основание системы числения, в которой число 40 записывается с использованием ровно 3 значимых разрядов, равно 6.

Мы достигаем этого, раскладывая число 40 в позиционной системе счисления с основанием 6:

\[40 = 3 \cdot 6^2 + 4 \cdot 6^1 + 4 \cdot 6^0\]