Каково изменение потенциальной энергии при увеличении в 4 раза величины одного из взаимодействующих зарядов?

Задача: Каково изменение потенциальной энергии при увеличении в 4 раза величины одного из взаимодействующих зарядов?

Для решения этой задачи нам потребуется знание формулы для вычисления потенциальной энергии системы зарядов. Формула дана по закону Кулона и имеет вид:

\[U = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r}}\],

где \(U\) - потенциальная энергия системы зарядов,
\(k\) - постоянная Кулона (\(k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Нм}^2/\text{Кл}^2\)),
\(q_1\) и \(q_2\) - величины зарядов, взаимодействующих между собой,
\(r\) - расстояние между зарядами.

Предположим, что у нас есть два заряда \(q_1\) и \(q_2\), и мы увеличиваем величину одного из этих зарядов в 4 раза. Для удобства обозначим начальные величины зарядов как \(q_{1,0}\) и \(q_{2,0}\), а измененные величины как \(q_{1,1}\) и \(q_{2,0}\).

Теперь мы можем выразить изменение потенциальной энергии как разность между исходной и измененной энергией:

\[\Delta U = U_{\text{изм}} - U_{\text{нач}}\],

где \(U_{\text{изм}}\) - потенциальная энергия после изменения величины зарядов,
\(U_{\text{нач}}\) - исходная потенциальная энергия.

Подставим формулу для потенциальной энергии в это выражение:

\[\Delta U = \left(\frac{{k \cdot q_{1,1} \cdot q_{2,0}}}{{r}}\right) - \left(\frac{{k \cdot q_{1,0} \cdot q_{2,0}}}{{r}}\right)\].

Теперь заметим, что изменение величины одного из зарядов отразится только в числителе первого слагаемого. Так как мы увеличиваем величину одного заряда в 4 раза, то мы можем записать новую величину \(q_{1,1}\) как \(4 \cdot q_{1,0}\):

\[\Delta U = \left(\frac{{k \cdot (4 \cdot q_{1,0}) \cdot q_{2,0}}}{{r}}\right) - \left(\frac{{k \cdot q_{1,0} \cdot q_{2,0}}}{{r}}\right)\].

Теперь давайте приведем формулу:

\[\Delta U = \frac{{k \cdot (4 \cdot q_{1,0}) \cdot q_{2,0}}}{{r}} - \frac{{k \cdot q_{1,0} \cdot q_{2,0}}}{{r}}\].
\[\Delta U = \frac{{4kq_{1,0}q_{2,0}}}{{r}} - \frac{{kq_{1,0}q_{2,0}}}{{r}}\].

У нас есть общий множитель \(q_{1,0}q_{2,0}/r\), который можно вынести за скобки:

\[\Delta U = \frac{{q_{1,0}q_{2,0}}}{{r}} \left(4k - k\right)\].

Теперь осталось только провести арифметические вычисления:

\[\Delta U = \frac{{q_{1,0}q_{2,0}}}{{r}} \cdot 3k\].

Таким образом, мы получаем, что изменение потенциальной энергии при увеличении в 4 раза величины одного из взаимодействующих зарядов составляет \(3k \cdot \frac{{q_{1,0}q_{2,0}}}{{r}}\). Постоянная \(k\) не изменяется, поэтому изменение потенциальной энергии пропорционально произведению исходных зарядов и не зависит от расстояния между ними.