Каково исследование функции Y=-9x+x^3 и как строить ее график?

Исследование функции \(Y=-9x+x^3\) включает в себя определение области определения, области значений, нахождение интервалов возрастания и убывания, точек экстремума, а также построение графика. Давайте рассмотрим каждый аспект подробнее.

1. Область определения:
Область определения функции - это множество значений аргумента, при которых функция определена. В данном случае, функция \(Y=-9x+x^3\) определена для любого значения \(x\), так как возводит \(x\) в куб, а затем умножает на \(-9\) и складывает результаты. Таким образом, область определения для данной функции - это все вещественные числа.

2. Область значений:
Область значений функции - это множество значений функции \(Y\) при всех возможных значениях \(x\). Чтобы найти область значений, мы можем проанализировать поведение функции при различных значениях \(x\). В данном случае, поскольку коэффициент при \(x^3\) положительный (\(1\)), это означает, что функция будет стремиться к плюс бесконечности при \(x\), стремящемся к плюс бесконечности, и к минус бесконечности при \(x\), стремящемся к минус бесконечности. Следовательно, область значений функции \(Y=-9x+x^3\) - это все вещественные числа.

3. Интервалы возрастания и убывания:
Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы должны найти ее производную и проанализировать ее знаки. Производная функции \(-9x+x^3\) равна \(Y"=-9+3x^2\). Чтобы узнать, где функция возрастает или убывает, мы должны найти интервалы, где производная больше нуля или меньше нуля соответственно. Решив \(Y">0\) или \(Y"<0\), мы получим интервалы возрастания и убывания соответственно.

4. Точки экстремума:
Точки экстремума - это точки на графике функции, где она достигает локального максимума или минимума. Для нахождения точек экстремума, мы должны приравнять производную функции к нулю и решить это уравнение. Решая \(Y"=0\), мы сможем найти точки экстремума.

5. Построение графика:
Для построения графика функции \(Y=-9x+x^3\), мы можем использовать полученную информацию из предыдущих шагов и нарисовать оси координат \(x\) и \(Y\). Затем мы определяем точки на графике, включая интервалы возрастания и убывания, точки экстремума, а также точку пересечения с осями координат. Соединяя эти точки, мы получим график функции.

Я надеюсь, что данное решение поможет вам провести исследование функции \(Y=-9x+x^3\) и построить ее график. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.