Каково исследование функции Y=-9x+x^3 и как строить ее график?

Исследование функции $Y=-9x+x^3$ включает в себя определение области определения, области значений, нахождение интервалов возрастания и убывания, точек экстремума, а также построение графика. Давайте рассмотрим каждый аспект подробнее.

1. Область определения:
Область определения функции - это множество значений аргумента, при которых функция определена. В данном случае, функция $Y=-9x+x^3$ определена для любого значения $x$, так как возводит $x$ в куб, а затем умножает на $-9$ и складывает результаты. Таким образом, область определения для данной функции - это все вещественные числа.

2. Область значений:
Область значений функции - это множество значений функции $Y$ при всех возможных значениях $x$. Чтобы найти область значений, мы можем проанализировать поведение функции при различных значениях $x$. В данном случае, поскольку коэффициент при $x^3$ положительный ($1$), это означает, что функция будет стремиться к плюс бесконечности при $x$, стремящемся к плюс бесконечности, и к минус бесконечности при $x$, стремящемся к минус бесконечности. Следовательно, область значений функции $Y=-9x+x^3$ - это все вещественные числа.

3. Интервалы возрастания и убывания:
Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы должны найти ее производную и проанализировать ее знаки. Производная функции $-9x+x^3$ равна $Y"=-9+3x^2$. Чтобы узнать, где функция возрастает или убывает, мы должны найти интервалы, где производная больше нуля или меньше нуля соответственно. Решив $Y">0$ или $Y"<0$, мы получим интервалы возрастания и убывания соответственно.

4. Точки экстремума:
Точки экстремума - это точки на графике функции, где она достигает локального максимума или минимума. Для нахождения точек экстремума, мы должны приравнять производную функции к нулю и решить это уравнение. Решая $Y"=0$, мы сможем найти точки экстремума.

5. Построение графика:
Для построения графика функции $Y=-9x+x^3$, мы можем использовать полученную информацию из предыдущих шагов и нарисовать оси координат $x$ и $Y$. Затем мы определяем точки на графике, включая интервалы возрастания и убывания, точки экстремума, а также точку пересечения с осями координат. Соединяя эти точки, мы получим график функции.

Я надеюсь, что данное решение поможет вам провести исследование функции $Y=-9x+x^3$ и построить ее график. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.