Каково должно быть смещение Δl, чтобы коробочка начала скользить относительно бруска?

Для решения данной задачи, нам необходимо учесть условия скольжения и равновесия. Предположим, что коробочка скользит по горизонтальной поверхности бруска без трения.

Согласно условию, чтобы коробочка начала скользить относительно бруска, необходимо преодолеть силу сцепления между коробочкой и бруском. К счастью, момент сил, действующих на брусок, равен нулю, поэтому для определения силы сцепления, рассмотрим момент сил относительно некоторой оси, проходящей через точку контакта между коробочкой и бруском.

Пусть масса коробочки равна $m$, а масса бруска равна $M$.

Так как коробочка находится в состоянии равновесия, то сумма моментов сил, действующих на нее, должна равняться нулю. Подобраем ось вращения, проходящую через точку контакта между коробочкой и бруском. В этом случае, сила тяжести коробочки $F=m\cdot g$ и сила сцепления $f$ создают противоположные по направлению моменты, и мы можем записать следующее равенство моментов:

$$f\cdot \Delta l=m\cdot g\cdot \frac{L}{2}$$

где $L$ - длина бруска, а $\Delta l$ - необходимое смещение коробочки.

Раскрывая скобки, получим:

$$f\cdot \Delta l=\frac{m\cdot g\cdot L}{2}$$

Так как сила сцепления равна $f=\mu \cdot N$, где $\mu$ - коэффициент трения, а $N$ - нормальная сила, направленная вертикально вверх, то можем записать:

$$\mu \cdot N\cdot \Delta l=\frac{m\cdot g\cdot L}{2}$$

Теперь нам нужно определить нормальную силу $N$, действующую на коробочку. В равновесии по вертикали сила тяжести и нормальная сила должны быть равны по модулю, так как коробочка не проваливается сквозь брусок.

Используя второй закон Ньютона по вертикали, имеем:

$$N-m\cdot g=0$$

отсюда следует, что $N=m\cdot g$.

Подставляем это значение в предыдущее уравнение:

$$\mu \cdot m\cdot g\cdot \Delta l=\frac{m\cdot g\cdot L}{2}$$

Сокращаем $m\cdot g$ с обеих сторон:

$$\mu \cdot \Delta l=\frac{L}{2}$$

И, наконец, выражаем смещение $\Delta l$:

$$\Delta l=\frac{L}{2\cdot \mu }$$

Получаем значение смещения, которое необходимо приложить к коробочке, чтобы она начала скользить относительно бруска.

Обратите внимание, что данное решение основано на предположении отсутствия трения, поэтому следует учесть, что в реальных условиях трение может вносить изменения в результат.