Какова высота треугольника АВС? В треугольнике АВС медиана ВМ и высота АН пересекаются в точке К. Известно, что ВК

Для нахождения высоты треугольника АВС воспользуемся свойствами медианы и высоты.

1. Найдем длину медианы ВМ. Медиана ВМ делит сторону АС в отношении 2:1, поэтому ВК = 2КМ. По условию дано, что ВК = 5, а МК = 1. Тогда 2КМ = 5, а отсюда КМ = 5/2 = 2.5.

2. Рассмотрим треугольник ВМК. Угол СВМ = 30 градусов. Медиана ВМ - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае, это отрезок ВК. Воспользуемся формулой синуса для треугольника ВМК: $\sin (\mathrm{\angle }ВМК)=\frac{КМ}{ВК}$

Подставим значения КМ = 2.5 и ВК = 5 в формулу и рассчитаем значение синуса угла ВМК:
$\sin (\mathrm{\angle }ВМК)=\frac{2.5}{5}=0.5$

3. Для нахождения высоты АН воспользуемся формулой высоты, которая устанавливает, что $h=c\cdot \sin (\mathrm{\angle }ВМК)$, где с - сторона треугольника, к которой проведена высота, а $\mathrm{\angle }ВМК$ - угол между этой стороной и медианой.
Так как мы ищем высоту АН, стороной с является АС, и угол между АС и медианой ВМ - это угол АКН.

Подставим значение синуса угла ВМК = 0.5 и длину стороны АС в формулу:
$h=c\cdot \sin (\mathrm{\angle }ВМК)=АС\cdot \sin (\mathrm{\angle }АКН)$

4. Но мы не знаем значение стороны АС. Однако мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника АВС: $А{С}^2=А{В}^2+В{С}^2-2\cdot АВ\cdot ВС\cdot \cos (\mathrm{\angle }В)$, где В - вершина треугольника АВС, противоположная стороне АС.

Угол В имеет также значение 30 градусов, так как согласно условию угол СВМ = 30 градусов и медиана ВМ - это отрезок, соединяющий вершину В с серединой противоположной стороны. Подставим значение угла В = 30 градусов в теорему косинусов и получим:

$А{С}^2=А{В}^2+В{С}^2-2\cdot АВ\cdot ВС\cdot \cos (\mathrm{\angle }В)=А{В}^2+В{С}^2-2\cdot АВ\cdot ВС\cdot \cos ({30}^{\circ })$

5. Нам нужно найти высоту АН. Поэтому разделим обе части формулы высоты $h=АС\cdot \sin (\mathrm{\angle }АКН)$ на сторону АС:
$\frac{h}{АС}=\sin (\mathrm{\angle }АКН)$

Теперь мы можем выразить синус угла АКН через значения сторон треугольника АВС:
$\sin (\mathrm{\angle }АКН)=\frac{h}{АС}=\frac{h}{\sqrt{А{В}^2+В{С}^2-2\cdot АВ\cdot ВС\cdot \cos ({30}^{\circ })}}$

6. Мы знаем, что $\sin (\mathrm{\angle }АКН)=\sin (\mathrm{\angle }ВМК)=0.5$ , так как АКН и ВМК - это один и тот же угол.

Итак, с учетом этой информации, мы можем записать уравнение:
$\frac{h}{\sqrt{А{В}^2+В{С}^2-2\cdot АВ\cdot ВС\cdot \cos ({30}^{\circ })}}=0.5$

7. Преобразуем уравнение для нахождения высоты АН. Умножим обе части на $\sqrt{А{В}^2+В{С}^2-2\cdot АВ\cdot ВС\cdot \cos ({30}^{\circ })}$:
$h=0.5\cdot \sqrt{А{В}^2+В{С}^2-2\cdot АВ\cdot ВС\cdot \cos ({30}^{\circ })}$

Итак, высота треугольника АВС равна $h=0.5\cdot \sqrt{А{В}^2+В{С}^2-2\cdot АВ\cdot ВС\cdot \cos ({30}^{\circ })}$