Какова высота прямой треугольной призмы, у которой основание составляет прямоугольный треугольник с катетами 9 см

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о треугольных призмах и формулах для вычисления их параметров. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Постановка задачи
Мы имеем прямую треугольную призму, у которой основание состоит из прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 12 см. Также нам дано, что площадь большей боковой грани равна 120 см². Нам нужно найти высоту этой призмы.

Шаг 2: Нахождение площади основания
Для начала, найдем площадь основания призмы, которое является прямоугольным треугольником. Формула для площади прямоугольного треугольника:
\[S = \frac{{a \cdot b}}{2}\]
где \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника. В нашем случае, \(a = 9\) см, а \(b = 12\) см. Подставив значения в формулу, получаем:
\[S_{\text{основания}} = \frac{{9 \cdot 12}}{2} = 54 \, \text{см}^2\]

Шаг 3: Нахождение высоты призмы
Мы знаем, что площадь большей боковой грани равна 120 см². Площадь боковой грани прямой треугольной призмы вычисляется по формуле:
\[S_{\text{грани}} = \text{периметр основания} \cdot \text{высота}\]
Поскольку наше основание - прямоугольный треугольник, периметр основания можно найти по формуле:
\[\text{периметр} = a + b + c\]
где \(c\) - гипотенуза треугольника. Для нахождения гипотенузы, мы можем использовать теорему Пифагора:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
\[\text{или} \, c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
В нашем случае, \(a = 9\) см и \(b = 12\) см, поэтому:
\[c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \, \text{см}\]
Так как нам известны все стороны треугольника, мы можем найти его периметр:
\[\text{периметр} = 9 + 12 + 15 = 36 \, \text{см}\]
Теперь мы можем найти высоту призмы, подставив известные значения в формулу:
\[S_{\text{грани}} = \text{периметр основания} \cdot \text{высота}\]
\[120 = 36 \cdot \text{высота}\]
Разделив обе части уравнения на 36, получаем:
\[\text{высота} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3} \, \text{см}\]

Ответ: Высота прямой треугольной призмы равна \(\frac{10}{3}\) см.

Мы использовали формулы для площади прямоугольного треугольника и площади боковой грани призмы, а также теорему Пифагора для нахождения гипотенузы треугольника. В результате получили высоту призмы, учитывая заданные значения.