Какова высота орбиты искусственного спутника Земли при движении со скоростью 6,67 над поверхностью планеты?

Чтобы определить высоту орбиты искусственного спутника Земли при движении со скоростью 6,67 км/с над поверхностью планеты, нужно использовать законы сохранения энергии и гравитационную формулу.

Первым шагом рассмотрим закон сохранения энергии. Энергия спутника на орбите состоит из его кинетической энергии движения и его потенциальной энергии, обусловленной гравитационной силой, действующей на него со стороны Земли.

Кинетическая энергия движения спутника определяется формулой:

\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2} m v^2,\]

где \(E_{\text{к}}\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса спутника и \(v\) - его скорость.

Потенциальная энергия спутника на высоте \(h\) над поверхностью Земли определяется формулой:

\[E_{\text{п}} = -\frac{G M m}{R + h},\]

где \(E_{\text{п}}\) - потенциальная энергия, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли, \(m\) - масса спутника, \(R\) - радиус Земли и \(h\) - высота орбиты спутника.

В этой формуле отрицательное значение потенциальной энергии указывает на то, что гравитационная сила приближает спутник к центру Земли.

Так как энергия на орбите должна быть постоянной, то можно записать следующее уравнение:

\[\frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{R + h} = \text{const}.\]

Теперь давайте найдем соотношение между радиусами орбиты спутника и радиусом Земли для более удобного выражения этого уравнения. Радиус орбиты спутника равен сумме радиуса Земли и высоты орбиты спутника:

\[r = R + h.\]

Теперь выразим высоту орбиты спутника через \(r\) и \(R\):

\[h = r - R.\]

Подставим это выражение в уравнение энергии:

\[\frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{r} = \text{const}.\]

Целесообразно выбрать начальную орбиту спутника на поверхности Земли (\(r = R\)), когда его скорость равна 6,67 км/с, что равно 6670 м/с (нужно перевести км/с в м/с). Таким образом, скорость спутника равна 6670 м/с.

Подставим значения скорости и \(r\) в уравнение:

\[\frac{1}{2} m (6670 \, \text{м/с})^2 - \frac{G M m}{r} = \text{const}.\]

Теперь рассмотрим случай, когда спутник находится в очень высокой орбите, где его скорость стремится к нулю. Это связано с тем, что его потенциальная энергия становится очень маленькой по сравнению с кинетической энергией. В этом случае можно пренебречь потенциальной энергией и записать уравнение следующим образом:

\[\frac{1}{2} m (0)^2 - \frac{G M m}{r} = \text{const}.\]

Таким образом, можно сказать, что энергия на любой орбите будет равна:

\[\text{const} = -\frac{G M m}{r}.\]

Располагая этим равенством и общим выражением для радиуса орбиты спутника, можно вычислить \(r\) при заданной скорости спутника. Если \(r\) найдено, тогда высоту орбиты можно вычислить, используя выражение \(h = r - R\).

Поэтому, чтобы определить высоту орбиты спутника при движении со скоростью 6,67 км/с над поверхностью Земли, нам необходимо знать массу спутника, массу Земли, гравитационную постоянную и радиус Земли для последующего решения уравнения. Вычисления можно выполнить по формулам, используя известные значения этих величин.