Какова вероятность выбрать три шарика разных цветов из мешка, содержащего шесть шариков трех разных цветов

Конечно! Чтобы решить эту задачу, нам необходимо определить общее количество возможных вариантов выбора трех шариков и количество благоприятных вариантов (т.е. выбор трех шариков разных цветов).

Для начала определим количество способов выбора трех шариков из общего числа шести. Мы можем выбрать любые три шарика из шести, поэтому воспользуемся формулой сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем. В нашем случае, \(n = 6\) (общее число шариков) и \(k = 3\) (количество выбираемых шариков). Подставим значения в формулу:

\[C(6, 3) = \frac{{6!}}{{3! \cdot (6-3)!}} = \frac{{6!}}{{3! \cdot 3!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{120}}{{6}} = 20\]

Таким образом, общее количество возможных вариантов выбора трех шариков равно 20.

Теперь рассмотрим количество благоприятных вариантов. У нас есть шесть шариков трех разных цветов, по два шарика каждого цвета. Чтобы выбрать три шарика разных цветов, мы можем выбрать один шарик из трех доступных цветов для первого шарика, один шарик из двух оставшихся цветов для второго шарика и один шарик из оставшегося цвета для третьего шарика.

Количество благоприятных вариантов можно рассчитать следующим образом:

\[3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\]

Таким образом, количество благоприятных вариантов равно 6.

Наконец, чтобы найти вероятность выбора трех шариков разных цветов, мы делим количество благоприятных вариантов на общее количество возможных вариантов:

\[\text{Вероятность} = \frac{{\text{Количество благоприятных вариантов}}}{{\text{Количество возможных вариантов}}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\]

Таким образом, вероятность выбрать три шарика разных цветов из мешка равна \(\frac{3}{10}\).