Какова вероятность выбрать три мячика разного цвета, если в коробке находятся 12 мячиков, включая 3 красных, 5 зелёных

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо определить общее количество способов выбрать 3 мячика из 12. Затем мы должны вычислить количество способов выбрать 3 мячика разного цвета. Вероятность выбора трех мячиков разного цвета будет равна отношению количества способов выбрать 3 мячика разного цвета к общему количеству способов выбрать 3 мячика из 12.

1. Вычислим общее количество способов выбрать 3 мячика из 12. Для этого мы можем использовать сочетания. Формула для сочетаний записывается как \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество выбираемых элементов.

В нашем случае \(n = 12\) и \(k = 3\). Подставим значения в формулу:

\(\binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!}\)

Выполнив вычисления, получим:

\(\binom{12}{3} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\)

Таким образом, общее количество способов выбрать 3 мячика из 12 равно 220.

2. Теперь мы должны определить количество способов выбрать 3 мячика разного цвета. В таком случае, у нас есть несколько вариантов:

a) Выбрать 1 красный, 1 зеленый и 1 желтый мячик.
b) Выбрать 1 красный, 1 желтый и 1 зеленый мячик.
c) Выбрать 1 зеленый, 1 красный и 1 желтый мячик.
d) Выбрать 1 зеленый, 1 желтый и 1 красный мячик.
e) Выбрать 1 желтый, 1 красный и 1 зеленый мячик.
f) Выбрать 1 желтый, 1 зеленый и 1 красный мячик.

Для каждого из этих вариантов мы вычислим количество способов выбрать мячики разного цвета, используя аналогичную формулу для сочетаний.

a) Количество способов выбрать 1 красный, 1 зеленый и 1 желтый мячик:
\(\binom{3}{1} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{1}\)

b) Количество способов выбрать 1 красный, 1 желтый и 1 зеленый мячик:
\(\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{1}\)

c) Количество способов выбрать 1 зеленый, 1 красный и 1 желтый мячик:
\(\binom{5}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1}\)

d) Количество способов выбрать 1 зеленый, 1 желтый и 1 красный мячик:
\(\binom{5}{1} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{3}{1}\)

e) Количество способов выбрать 1 желтый, 1 красный и 1 зеленый мячик:
\(\binom{4}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{5}{1}\)

f) Количество способов выбрать 1 желтый, 1 зеленый и 1 красный мячик:
\(\binom{4}{1} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{3}{1}\)

Выполнив вычисления для каждого варианта, мы получим:

a) \(3 \cdot 5 \cdot 4 = 60\)
b) \(3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\)
c) \(5 \cdot 3 \cdot 4 = 60\)
d) \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\)
e) \(4 \cdot 3 \cdot 5 = 60\)
f) \(4 \cdot 5 \cdot 3 = 60\)

Общее количество способов выбрать 3 мячика разного цвета будет равно сумме всех вычисленных значений:

\(60 + 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 360\)

3. Теперь мы можем найти вероятность выбрать три мячика разного цвета. Это отношение количества способов выбрать 3 мячика разного цвета к общему количеству способов выбрать 3 мячика из 12:

\(\frac{360}{220} \approx 1.64\)

Таким образом, вероятность выбрать три мячика разного цвета составляет примерно 1.64 или около 164%. Это означает, что в среднем, если мы много раз будем выбирать по 3 мячика наудачу из коробки с таким набором мячиков, в примерно 1.64 случаях из 100 мы получим мячи разного цвета.