Какова вероятность выбрать наудачу 1 первокурсника, 2 второкурсника и 2 третьекурсника из общего числа

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить вероятность выбора 1 первокурсника, 2 второкурсников и 2 третьекурсников из общего числа студентов.
Давайте посмотрим на количество возможных комбинаций выбора студентов:

\[\binom{3}{1} \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}\]

Здесь \(\binom{n}{k}\) обозначает количество сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов в каждом. Мы используем эту формулу, потому что порядок выбора студентов не имеет значения.
\(\binom{3}{1}\) - это количество способов выбрать 1 первокурсника из 3.
\(\binom{5}{2}\) - это количество способов выбрать 2 второкурсника из 5.
\(\binom{7}{2}\) - это количество способов выбрать 2 третьекурсника из 7.

Теперь мы можем вычислить значение:

\[\binom{3}{1} \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2} = \frac{3!}{1! \cdot (3-1)!} \cdot \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} \cdot \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!}\]

Раскроем факториалы и упростим выражение:

\[\binom{3}{1} \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{2 \cdot 1 \cdot 3} \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3} = 3 \cdot 10 \cdot 35 = 1050\]

Теперь мы знаем, что всего существует 1050 возможных комбинаций выбора студентов для конференции.

Однако, чтобы найти вероятность выбора конкретной комбинации студентов, мы должны поделить количество комбинаций, которые соответствуют нашей задаче, на общее количество комбинаций.

В нашем случае, мы хотим выбрать 1 первокурсника, 2 второкурсников и 2 третьекурсника. Есть несколько способов распределить студентов внутри этих категорий, поэтому нам нужно учесть все возможные комбинации.

Например, мы можем выбрать первокурсника из 3 возможных способов, второкурсников из 5 возможных способов и третьекурсников из 7 возможных способов. Таким образом, общее количество комбинаций, удовлетворяющих нашей задаче, равно:

\(3 \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}\)

Теперь мы можем вычислить итоговую вероятность:

\[\frac{3 \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}}{1050}\]

Вычислив это выражение, мы получим значение вероятности выбора 1 первокурсника, 2 второкурсников и 2 третьекурсников для будущей конференции.