Какова вероятность выбрать четыре теннисных мяча из ящика, где лежат 20 мячей, включая 10 новых и 10 игранных, таким

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться комбинаторикой и принципом блоков.

Итак, у нас есть ящик с 20 теннисными мячами, из которых 10 новых и 10 игранных. Нам нужно выбрать 4 мяча так, чтобы ровно половина из них была новыми.

Давайте разобьем задачу на несколько шагов:

1. Найдем количество способов выбрать 4 мяча из 20. Для этого воспользуемся формулой сочетаний:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},\]
где \(n\) - общее количество объектов (в нашем случае мячей), \(k\) - количество выбираемых объектов (в нашем случае 4 мяча).

Используя эту формулу, мы получаем:
\[\binom{20}{4} = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4!16!}.\]

2. Теперь найдем количество способов выбрать 2 новых мяча из 10 новых. Здесь мы также можем использовать формулу сочетаний:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},\]
где \(n\) - общее количество объектов (в нашем случае новых мячей), \(k\) - количество выбираемых объектов (в нашем случае 2 новых мяча).

Используя эту формулу, мы получаем:
\[\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!}.\]

3. Ответом на задачу будет отношение количества способов выбрать 2 новых мяча к количеству способов выбрать 4 мяча:
\[\frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{4}} = \dfrac{\dfrac{10!}{2!8!}}{\dfrac{20!}{4!16!}}.\]

Опустив подобные множители в числителе и знаменателе, мы можем вычислить это отношение.

Подставляя значения:
\begin{align*}
\frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{4}} &= \dfrac{\dfrac{10!}{2!8!}}{\dfrac{20!}{4!16!}} \\
&= \frac{\dfrac{10\cdot9}{2}}{\dfrac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}} \\
&= \frac{10\cdot9\cdot4\cdot3}{20\cdot19\cdot18\cdot17}.
\end{align*}

Произведя указанные вычисления, получаем:
\[\frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{4}} = \frac{360}{116280} = \frac{3}{970}.\]

Таким образом, вероятность выбрать четыре теннисных мяча из ящика так, чтобы ровно половина из них была новыми, равна \(\frac{3}{970}\) или около 0.0031.