Какова вероятность того, что все цифры в семизначном телефонном номере будут различными?

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть семизначный телефонный номер, и нам нужно найти вероятность того, что все цифры в номере будут различными. Для этого будем использовать комбинаторику.

Шаг 1: Определим количество возможных вариантов для каждой позиции в номере.

В семидесяти номерах семь позиций. На первой позиции может находиться любая цифра от 0 до 9 (10 вариантов), на второй позиции - любая цифра от 0 до 9, и так далее. Таким образом, на каждой позиции может быть 10 возможных цифр.

Шаг 2: Найдем общее количество возможных комбинаций номера.

Так как на каждой позиции может быть 10 возможных цифр, общее количество комбинаций будет равно произведению количества возможных вариантов на каждой позиции:

\[
10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^7
\]

Таким образом, всего имеется \(10^7\) возможных комбинаций номера.

Шаг 3: Найдем количество комбинаций с различными цифрами.

Для того чтобы все цифры в номере были различными, мы должны выбрать 7 различных цифр из 10 возможных (так как у нас 10 цифр от 0 до 9). Это можно сделать с помощью сочетания.

Количество сочетаний из 10 элементов по 7 равно:

\[
C(10, 7) = \frac{{10!}}{{7!(10-7)!}} = \frac{{10!}}{{7! \cdot 3!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{7! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120
\]

Таким образом, всего существует 120 комбинаций номеров с различными цифрами.

Шаг 4: Найдем вероятность того, что все цифры в номере будут различными.

Вероятность равна количеству комбинаций с различными цифрами, деленному на общее количество комбинаций:

\[
P(\text{{различные цифры}}) = \frac{{\text{{количество комбинаций с различными цифрами}}}}{{\text{{общее количество комбинаций}}}} = \frac{{120}}{{10^7}}
\]

Таким образом, вероятность того, что все цифры в семизначном телефонном номере будут различными, составляет \(\frac{{120}}{{10^7}}\).

Пояснение: Очень важно помнить, что величина вероятности находится в интервале от 0 до 1. Высокая вероятность (близкая к 1) означает, что событие происходит с большой вероятностью, а низкая вероятность (близкая к 0) означает, что событие происходит с маленькой вероятностью. В данной задаче вероятность довольно низкая из-за ограниченного количества комбинаций с различными цифрами в сравнении с общим числом возможных комбинаций номера.