Какова вероятность того, что все 4 тетради, взятые наугад из пачки, окажутся в клетку, если в пачке есть 10 тетрадей

Эта задача о вероятности является примером задачи с комбинаторикой, где нам нужно найти вероятность того, что произойдет событие из общего числа возможных событий. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Найдем общее количество возможных комбинаций, которые можно получить, выбирая 4 тетради из пачки, состоящей из 10 тетрадей в линейку и 6 в клетку. Для этого мы будем использовать коэффициент биномиального разделения или символ биномиального коэффициента, обозначенный как \(\binom{n}{k}\), где \(n\) - общее количество объектов (10 + 6 = 16 в нашем случае), а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем (4 в нашем случае). Формула для биномиального коэффициента выглядит следующим образом:

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

где \(!\) означает факториал числа. Факториал числа - это произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа. Воспользуемся формулой для вычисления биномиального коэффициента, чтобы найти общее количество возможных комбинаций:

\[
\binom{16}{4} = \frac{16!}{4!(16-4)!}
\]

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель:
\[
16! = 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

Знаменатель:
\[
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]
\[
(16-4)! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

Теперь подставим значения числителя и знаменателя в формулу:

\[
\binom{16}{4} = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
\]

Мы можем сократить множители в числителе и знаменателе:

\[
\binom{16}{4} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
\]

\[
\binom{16}{4} = \frac{43680}{24}
\]

\[
\binom{16}{4} = 1820
\]

Шаг 2: Найдем количество комбинаций, когда 4 тетради окажутся в клетку. В этом случае у нас есть 6 тетрадей в клетку, и мы должны выбрать 4 из них. Используем ту же формулу для вычисления биномиального коэффициента:

\[
\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!}
\]

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель:
\[
6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

Знаменатель:
\[
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]
\[
(6-4)! = 2 \cdot 1
\]

Теперь подставим значения числителя и знаменателя в формулу:

\[
\binom{6}{4} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}
\]

Сократим множители в числителе и знаменателе:

\[
\binom{6}{4} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}
\]

\[
\binom{6}{4} = \frac{30}{2}
\]

\[
\binom{6}{4} = 15
\]

Шаг 3: Найдем вероятность того, что все 4 тетради окажутся в клетку. Для этого мы разделим количество комбинаций, в которых 4 тетради оказываются в клетку (15, как мы выяснили в предыдущем шаге), на общее количество возможных комбинаций (1820, как мы выяснили в первом шаге):

\[
P = \frac{15}{1820}
\]

\[
P \approx 0.00824
\]

Таким образом, вероятность того, что все 4 тетради окажутся в клетку, составляет примерно 0.00824, или примерно 0.82%.