Какова вероятность того, что все 4 случайно выбранные пуговицы будут черными, если в ящике находятся 11 пуговиц

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать понятие комбинаторики и вероятности. Давайте посмотрим на задачу пошагово.

1. Подсчитаем общее количество возможных комбинаций черных и нерных пуговиц. В данном случае у нас есть 11 пуговиц в ящике, 5 из которых черные.

Мы можем выбрать 4 пуговицы из 11 любым способом. Это представляет собой сочетания без повторений с использованием формулы \( C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}} \), где \( n \) - общее количество элементов, а \( k \) - количество элементов, которые мы выбираем. В нашем случае \( n = 11 \), \( k = 4 \).

\[ C(11, 4) = \frac{{11!}}{{4! \cdot (11-4)!}} = \frac{{11!}}{{4! \cdot 7!}} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 330 \]

Таким образом, всего существует 330 возможных комбинаций пуговиц.

2. Теперь посчитаем количество комбинаций, где все 4 пуговицы будут черными. У нас есть 5 черных пуговиц, и мы должны выбрать 4 из них. Используя ту же формулу, получаем:

\[ C(5, 4) = \frac{{5!}}{{4! \cdot (5-4)!}} = \frac{{5!}}{{4! \cdot 1!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 5 \]

Таким образом, существует 5 комбинаций, где все 4 пуговицы будут черными.

3. Наконец, найдем вероятность того, что все 4 пуговицы будут черными. Вероятность равна отношению количества благоприятных исходов (5) к общему количеству возможных исходов (330):

\[ P = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество возможных исходов}}}} = \frac{5}{330} \approx 0.015 \]

Таким образом, вероятность того, что все 4 случайно выбранные пуговицы будут черными, составляет около 0.015, или примерно 1.5%.

Надеюсь, это объяснение позволило вам понять задачу и способ ее решения. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.