Какова вероятность того, что студент знает 3 из 25 вопросов, предложенных ему экзаменатором, если он знает 20 из них?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать теорию вероятностей и комбинаторику. Давайте разложим задачу на более простые шаги и решим их последовательно.

Шаг 1: Найдем количество способов выбрать 3 вопроса из 25 предложенных экзаменатором. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний. Формула сочетаний выглядит следующим образом:

\[
C(n, r) = \frac{{n!}}{{r!(n-r)!}}
\]

Где n - общее количество объектов (в данном случае 25 вопросов), r - количество объектов, которые мы выбираем (в данном случае 3 вопроса), и ! обозначает факториал.

Применим эту формулу к нашей задаче:

\[
C(25, 3) = \frac{{25!}}{{3!(25-3)!}} = \frac{{25!}}{{3!22!}}
\]

Шаг 2: Теперь найдем количество способов выбрать 3 вопроса из тех, которые студент знает (20 вопросов). Мы можем использовать ту же формулу сочетаний, но с измененными значениями:

\[
C(20, 3) = \frac{{20!}}{{3!(20-3)!}} = \frac{{20!}}{{3!17!}}
\]

Шаг 3: Наконец, найдем вероятность того, что студент знает ровно 3 из 25 вопросов. Для этого необходимо разделить количество способов выбрать 3 из 20 вопросов, на количество способов выбрать 3 из 25 вопросов:

\[
P = \frac{{C(20, 3)}}{{C(25, 3)}}
\]

Подставим значения из шагов 1 и 2:

\[
P = \frac{{\frac{{20!}}{{3!17!}}}}{{\frac{{25!}}{{3!22!}}}} = \frac{{20! \cdot 3!22!}}{{3!17! \cdot 25!}}
\]

Теперь мы можем упростить это выражение и посчитать значение:

\[
P = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18}}{{25 \cdot 24 \cdot 23}} = \frac{{6840}}{{13800}} \approx 0.4964
\]

Итак, вероятность того, что студент знает ровно 3 из 25 вопросов, составляет приблизительно 0.4964 или около 49.64%.

Для более удобной записи следует использовать компактные форматы, такие как LaTeX:

Шаг 1: \(C(25, 3) = \frac{{25!}}{{3!(25-3)!}} = \frac{{25!}}{{3!22!}}\)

Шаг 2: \(C(20, 3) = \frac{{20!}}{{3!(20-3)!}} = \frac{{20!}}{{3!17!}}\)

Шаг 3: \(P = \frac{{C(20, 3)}}{{C(25, 3)}} = \frac{{\frac{{20!}}{{3!17!}}}}{{\frac{{25!}}{{3!22!}}}} = \frac{{20! \cdot 3!22!}}{{3!17! \cdot 25!}}\)

\(P = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18}}{{25 \cdot 24 \cdot 23}} = \frac{{6840}}{{13800}} \approx 0.4964\)

Таким образом, вероятность того, что студент знает ровно 3 из 25 вопросов, составляет приблизительно 0.4964 или около 49.64%.