Какова вероятность того, что среди трех наудачу взятых деталей будет хотя бы одна окрашенная, если в ящике всего

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть все возможные исходы и определить, сколько из них соответствуют условию "хотя бы одна окрашенная деталь".

Сначала посчитаем количество всех возможных исходов. В ящике всего 10 деталей, и мы выбираем из них три наудачу. Это сочетание из 10 по 3, обозначается как \( C(10, 3) \), где \( C \) обозначает число сочетаний. Расчитаем это значение:

\[
C(10, 3) = \frac{{10!}}{{3!(10-3)!}} = \frac{{10!}}{{3!7!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2}} = 120
\]

Теперь рассмотрим количество исходов, в которых все три детали неокрашенные. Всего есть 6 неокрашенных деталей и нам нужно выбрать из них три. Это сочетание из 6 по 3, обозначается как \( C(6, 3) \). Расчитаем его значение:

\[
C(6, 3) = \frac{{6!}}{{3!(6-3)!}} = \frac{{6!}}{{3!3!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 20
\]

Теперь можем рассчитать количество исходов, в которых хотя бы одна деталь окрашена. Нам нужно вычесть количество исходов без окрашенных деталей из общего количества возможных исходов:

\[
120 - 20 = 100
\]

Таким образом, существует 100 возможных исходов, в которых есть хотя бы одна окрашенная деталь из трех наудачу взятых. Чтобы найти вероятность, мы делим это число на общее количество возможных исходов, т.е. 120:

\[
\frac{{100}}{{120}} = \frac{{5}}{{6}}
\]

Итак, вероятность того, что среди трех наудачу взятых деталей будет хотя бы одна окрашенная, равна \( \frac{{5}}{{6}} \).