Какова вероятность того, что событие произойдет 25 раз в течение 100 независимых испытаний, если вероятность

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение описывает количество успехов в серии независимых испытаний, где вероятность успеха в каждом испытании остается постоянной.

Чтобы найти вероятность происхождения события 25 раз при вероятности успеха 0,2 в каждом испытании, мы можем использовать формулу для биномиального распределения:

\[P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:
\(P(X = k)\) - вероятность того, что событие произойдет ровно k раз,
\(C(n, k)\) - число сочетаний из n по k,
\(p\) - вероятность успеха в каждом испытании,
\(k\) - количество раз, когда событие произошло,
\(n\) - общее количество испытаний.

Перейдем к конкретному решению задачи. В данном случае, n = 100 (общее количество испытаний), k = 25 (количество раз, когда событие произошло), а p = 0,2 (вероятность успеха в каждом испытании).

Подставим все значения в формулу:

\[P(X = 25) = C(100, 25) \cdot 0,2^{25} \cdot (1-0,2)^{100-25}\]

Чтобы вычислить количество сочетаний \(C(100, 25)\), можно использовать формулу:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где ! обозначает факториал числа.

Теперь подставим это значение в формулу и вычислим:

\[C(100, 25) = \frac{100!}{25!(100-25)!}\]

\[= \frac{100!}{25! \cdot 75!}\]

Также заметим, что \((1-0,2)^{100-25}\) может быть упрощено до \((0,8)^{75}\).

Теперь мы можем объединить все значения и вычислить вероятность:

\[P(X = 25) = \frac{100!}{25! \cdot 75!} \cdot 0,2^{25} \cdot (0,8)^{75}\]

Вычисление этого значения может занять некоторое время. Давайте приступим к вычислениям.