Какова вероятность того, что разница между средним размером вклада случайно выбранного вкладчика и средним размером

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться Центральной Предельной Теоремой (ЦПТ) и использовать нормальное распределение.

Допустим, у нас есть общая совокупность вкладчиков, и средний размер вклада в этой совокупности равен \(\mu\), а стандартное отклонение равно \(\sigma\). Далее, мы случайным образом выбираем выборку размером \(n\) из этой совокупности и рассчитываем средний размер выборки \(\bar{x}\).

Разница между средними размерами может быть представлена как \(\Delta = |\bar{x} - \mu|\). В данной задаче мы хотим найти вероятность того, что эта разница не превысит 100 рублей. Другими словами, мы ищем \(P(\Delta \leq 100)\).

Используя ЦПТ, мы знаем, что средний размер выборки будет приближаться к нормальному распределению с математическим ожиданием \(\mu_{\bar{x}} = \mu\) и стандартным отклонением \(\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Мы также знаем, что разница между средними размерами будет иметь то же самое стандартное отклонение, то есть \(\sigma_{\Delta} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).

Теперь, чтобы найти вероятность \(P(\Delta \leq 100)\), мы можем стандартизировать разницу по стандартному отклонению. Получившаяся стандартизированная переменная будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1. Поэтому задачу можно переформулировать в следующем виде:

\(P(\Delta \leq 100) = P\left(\frac{\Delta - \mu_{\Delta}}{\sigma_{\Delta}} \leq \frac{100 - \mu_{\Delta}}{\sigma_{\Delta}}\right)\),

где \(\mu_{\Delta} = 0\) и \(\sigma_{\Delta} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).

Теперь мы можем использовать таблицу стандартного нормального распределения или калькулятор для нахождения значения \(\frac{100 - \mu_{\Delta}}{\sigma_{\Delta}}\). Найдя это значение, мы получим искомую вероятность \(P(\Delta \leq 100)\).

Обратите внимание, что для решения этой задачи требуется знание значений \(\mu\) и \(\sigma\) среднего размера вклада в общей совокупности, а также размера выборки \(n\). Если эти значения не предоставлены, задачу невозможно решить конкретно и можно только дать общее объяснение процесса решения.